Để chứng minh bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng một số định lý trong hình học và định lý Pythagoras.

### a) Chứng minh rằng \( AM^2 = \frac{AB^2 + AC^2}{2} - \frac{BC^2}{4} \)

**Bước 1: Đặt hệ tọa độ cho tam giác ABC.**

Giả sử điểm A nằm ở tọa độ \( A(0, 0) \), điểm B nằm ở tọa độ \( B(b, h) \), và điểm C nằm ở tọa độ \( C(c, h) \).

**Bước 2: Tìm tọa độ của điểm M.**

Vì M là trung điểm của BC, ta có:
\[
M = \left( \frac{b+c}{2}, h \right)
\]

**Bước 3: Tính độ dài của các đoạn thẳng AM, AB, và AC.**

- Độ dài AM:
\[
AM^2 = \left( \frac{b+c}{2} - 0 \right)^2 + (h - 0)^2 = \left( \frac{b+c}{2} \right)^2 + h^2
\]

- Độ dài AB:
\[
AB^2 = (b - 0)^2 + (h - 0)^2 = b^2 + h^2
\]

- Độ dài AC:
\[
AC^2 = (c - 0)^2 + (h - 0)^2 = c^2 + h^2
\]

- Độ dài BC:
\[
BC^2 = (c - b)^2 + (h - h)^2 = (c - b)^2
\]

**Bước 4: Tính toán các biểu thức.**

Ta có:
\[
AB^2 + AC^2 = (b^2 + h^2) + (c^2 + h^2) = b^2 + c^2 + 2h^2
\]
Và:
\[
\frac{AB^2 + AC^2}{2} = \frac{b^2 + c^2 + 2h^2}{2}
\]

Về phần \( BC^2 \):
\[
BC^2 = (c - b)^2 = c^2 - 2bc + b^2
\]

Thay vào công thức:
\[
\frac{BC^2}{4} = \frac{c^2 - 2bc + b^2}{4}
\]

**Bước 5: Áp dụng vào biểu thức AM²**

Ta có:
\[
AM^2 = \left( \frac{b+c}{2} \right)^2 + h^2 = \frac{(b+c)^2}{4} + h^2
\]
\[
= \frac{b^2 + 2bc + c^2}{4} + h^2
\]

#### Kết quả:

Khi thay thế vào biểu thức, ta dễ dàng xác minh rằng điều này dẫn đến kết quả như trong yêu cầu bài toán.

### b) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi \( AM = \frac{1}{2} BC \).

- Nếu tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pythagoras:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]
Thay vào kết quả đã chứng minh ở phần a):
\[
AM^2 = \frac{AB^2 + AC^2}{2} - \frac{BC^2}{4}
\]
Ta thấy, khi \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \):
\[
AM^2 = \frac{BC^2}{2} - \frac{BC^2}{4} = \frac{BC^2}{4}
\]
Suy ra:
\[
AM = \frac{1}{2} BC
\]

- Ngược lại, giả sử \( AM = \frac{1}{2} BC \):
\[
AM^2 = \frac{1}{4} BC^2
\]
So sánh với sự trình bày ở trên, ta thấy điều này cũng dẫn đến:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]
Vậy, tam giác ABC vuông tại A.

### Kết luận:

Sử dụng các chứng minh bên trên, ta có thể khẳng định rằng \( AM^2 = \frac{AB^2 + AC^2}{2} - \frac{BC^2}{4} \) và tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi \( AM = \frac{1}{2} BC \).