Để tìm tỉ lệ ba cạnh của tam giác khi biết tỉ lệ các kết quả của việc cộng lần lượt độ dài từng hai đường cao của tam giác đó, ta có thể làm như sau:

Giả sử tam giác có ba cạnh là \(a\), \(b\), và \(c\), và các đường cao tương ứng từ các đỉnh đối diện là \(h_a\), \(h_b\), và \(h_c\).

Theo bài toán, ta có:
\[ h_b + h_c : h_a + h_c : h_a + h_b = 5 : 7 : 8 \]

Ta biết rằng diện tích của tam giác có thể được biểu diễn qua các cạnh và các đường cao tương ứng:
\[ S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c \]

Do đó, ta có:
\[ h_a = \frac{2S}{a}, \quad h_b = \frac{2S}{b}, \quad h_c = \frac{2S}{c} \]

Thay các giá trị này vào tỉ lệ đã cho:
\[ \frac{2S}{b} + \frac{2S}{c} : \frac{2S}{a} + \frac{2S}{c} : \frac{2S}{a} + \frac{2S}{b} = 5 : 7 : 8 \]

Chia cả ba phần của tỉ lệ này cho \(2S\), ta được:
\[ \frac{1}{b} + \frac{1}{c} : \frac{1}{a} + \frac{1}{c} : \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 5 : 7 : 8 \]

Đặt:
\[ x = \frac{1}{a}, \quad y = \frac{1}{b}, \quad z = \frac{1}{c} \]

Khi đó, tỉ lệ trở thành:
\[ y + z : x + z : x + y = 5 : 7 : 8 \]

Giải hệ phương trình tỉ lệ này, ta có:
\[ \frac{y + z}{x + z} = \frac{5}{7} \]
\[ \frac{y + z}{x + y} = \frac{5}{8} \]

Từ phương trình đầu tiên:
\[ 7(y + z) = 5(x + z) \]
\[ 7y + 7z = 5x + 5z \]
\[ 7y - 5x = -2z \quad \text{(1)} \]

Từ phương trình thứ hai:
\[ 8(y + z) = 5(x + y) \]
\[ 8y + 8z = 5x + 5y \]
\[ 3y + 8z = 5x \quad \text{(2)} \]

Giải hệ phương trình (1) và (2), ta có:
Từ (1):
\[ 7y - 5x = -2z \]
\[ 7y = 5x - 2z \]
\[ y = \frac{5x - 2z}{7} \quad \text{(3)} \]

Thay (3) vào (2):
\[ 3\left(\frac{5x - 2z}{7}\right) + 8z = 5x \]
\[ \frac{15x - 6z}{7} + 8z = 5x \]
\[ 15x - 6z + 56z = 35x \]
\[ 15x + 50z = 35x \]
\[ 50z = 20x \]
\[ z = \frac{2x}{5} \]

Thay \(z = \frac{2x}{5}\) vào (3):
\[ y = \frac{5x - 2\left(\frac{2x}{5}\right)}{7} \]
\[ y = \frac{5x - \frac{4x}{5}}{7} \]
\[ y = \frac{\frac{25x - 4x}{5}}{7} \]
\[ y = \frac{\frac{21x}{5}}{7} \]
\[ y = \frac{3x}{5} \]

Vậy tỉ lệ các cạnh của tam giác là:
\[ a : b : c = \frac{1}{x} : \frac{1}{y} : \frac{1}{z} = 1 : \frac{5}{3} : \frac{5}{2} = 6 : 10 : 15 \]

Do đó, tỉ lệ ba cạnh của tam giác là \(6 : 10 : 15\).