Để hệ phương trình có vô số nghiệm, hai phương trình phải tương đương nhau. Điều này có nghĩa là một phương trình có thể được biến đổi thành phương trình kia bằng cách nhân với một hằng số không đổi.

Xét hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
mx + 2y = 7 \\
2x + my = 7
\end{cases} \]

Để hai phương trình này tương đương nhau, ta cần tìm \( m \) sao cho tỉ lệ giữa các hệ số của \( x \), \( y \) và hằng số tự do là như nhau. Cụ thể, ta cần:
\[ \frac{m}{2} = \frac{2}{m} = \frac{7}{7} \]

Từ \(\frac{m}{2} = \frac{2}{m}\), ta có:
\[ m^2 = 4 \]
\[ m = 2 \text{ hoặc } m = -2 \]

Tiếp theo, kiểm tra điều kiện \(\frac{m}{2} = \frac{7}{7}\):
\[ \frac{m}{2} = 1 \]
\[ m = 2 \]

Vậy, giá trị \( m = 2 \) thỏa mãn điều kiện để hệ phương trình có vô số nghiệm. Kiểm tra lại với \( m = -2 \):
\[ \frac{-2}{2} = -1 \neq 1 \]

Do đó, giá trị \( m = -2 \) không thỏa mãn điều kiện để hệ phương trình có vô số nghiệm.

Kết luận: Giá trị \( m \) để hệ phương trình có vô số nghiệm là \( m = 2 \).