Cho phương trình \( x^4 + mx^2 - m - 1 = 0 \) (với \( m \) là tham số).

### a) Giải phương trình khi \( m = 2 \)

Thay \( m = 2 \) vào phương trình, ta có:
\[ x^4 + 2x^2 - 2 - 1 = 0 \]
\[ x^4 + 2x^2 - 3 = 0 \]

Đặt \( t = x^2 \), khi đó phương trình trở thành:
\[ t^2 + 2t - 3 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này:
\[ t^2 + 2t - 3 = 0 \]
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( at^2 + bt + c = 0 \):
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Với \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -3 \):
\[ t = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \]
\[ t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \]
\[ t = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} \]
\[ t = \frac{-2 \pm 4}{2} \]

Do đó, ta có hai nghiệm:
\[ t_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \]
\[ t_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \]

Vì \( t = x^2 \), nên \( t_2 = -3 \) không phải là nghiệm hợp lệ (vì \( x^2 \) không thể âm). Do đó, chỉ có:
\[ t = 1 \]

Từ \( t = x^2 = 1 \), ta có:
\[ x^2 = 1 \]
\[ x = \pm 1 \]

Vậy nghiệm của phương trình khi \( m = 2 \) là \( x = 1 \) và \( x = -1 \).

### b) Tìm giá trị của \( m \) để phương trình có 4 nghiệm phân biệt

Phương trình ban đầu là:
\[ x^4 + mx^2 - m - 1 = 0 \]

Đặt \( t = x^2 \), ta có phương trình:
\[ t^2 + mt - m - 1 = 0 \]

Để phương trình \( t^2 + mt - m - 1 = 0 \) có 2 nghiệm phân biệt, thì điều kiện là:
\[ \Delta = m^2 - 4(-m - 1) > 0 \]
\[ \Delta = m^2 + 4m + 4 > 0 \]
\[ \Delta = (m + 2)^2 > 0 \]

Vì \( (m + 2)^2 \) luôn không âm và chỉ bằng 0 khi \( m = -2 \), nên để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, ta cần:
\[ m \neq -2 \]

Khi \( t \) có 2 nghiệm phân biệt, thì phương trình \( x^2 = t \) sẽ có 2 nghiệm phân biệt cho mỗi nghiệm của \( t \). Do đó, phương trình ban đầu sẽ có 4 nghiệm phân biệt khi \( t \) có 2 nghiệm phân biệt và khác nhau.

Vậy giá trị của \( m \) để phương trình có 4 nghiệm phân biệt là:
\[ m \neq -2 \]