Để xác định giá trị của \( x \) sao cho mỗi căn thức có nghĩa, ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn không âm và các điều kiện khác liên quan đến phép toán.

1. **Biểu thức:** \( \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \cdot \sqrt{x} - 1 \)

- Điều kiện để \( \sqrt{x} \) có nghĩa là \( x \geq 0 \).
- Điều kiện để \( \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \) có nghĩa là \( \sqrt{x} + 2 \neq 0 \), tức là \( \sqrt{x} \neq -2 \). Tuy nhiên, vì \( \sqrt{x} \) luôn không âm, điều kiện này luôn đúng.
- Điều kiện để \( \sqrt{x} - 1 \) có nghĩa là \( \sqrt{x} \geq 1 \), tức là \( x \geq 1 \).

Kết hợp các điều kiện trên, ta có: \( x \geq 1 \).

2. **Biểu thức:** \( \sqrt{x - 2\sqrt{x} - 1} \)

- Điều kiện để \( \sqrt{x - 2\sqrt{x} - 1} \) có nghĩa là \( x - 2\sqrt{x} - 1 \geq 0 \).

Đặt \( t = \sqrt{x} \), ta có \( t^2 = x \). Khi đó, điều kiện trở thành:
\[
t^2 - 2t - 1 \geq 0
\]

Giải bất phương trình bậc hai:
\[
t^2 - 2t - 1 = 0 \implies t = 1 \pm \sqrt{2}
\]

Xét dấu của tam thức bậc hai \( t^2 - 2t - 1 \):
- Tam thức này có nghiệm \( t = 1 + \sqrt{2} \) và \( t = 1 - \sqrt{2} \).
- Tam thức \( t^2 - 2t - 1 \geq 0 \) khi \( t \leq 1 - \sqrt{2} \) hoặc \( t \geq 1 + \sqrt{2} \).

Tuy nhiên, vì \( t = \sqrt{x} \geq 0 \), ta chỉ xét khoảng \( t \geq 1 + \sqrt{2} \).

Do đó, \( \sqrt{x} \geq 1 + \sqrt{2} \), tức là \( x \geq (1 + \sqrt{2})^2 \).

Tính \( (1 + \sqrt{2})^2 \):
\[
(1 + \sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}
\]

Vậy điều kiện là \( x \geq 3 + 2\sqrt{2} \).

Tóm lại:
1. \( x \geq 1 \)
2. \( x \geq 3 + 2\sqrt{2} \)