Để chứng minh \(MN \perp BC\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các điểm và tính chất của các tam giác:**
- Tam giác \(ABE\) và \(ACF\) là các tam giác vuông cân tại \(E\) và \(F\) tương ứng.
- Tam giác \(ABP\) và \(ACQ\) là các tam giác vuông cân tại \(P\) và \(Q\) tương ứng.
- \(M\) là trung điểm của \(EF\).
- \(N\) là trung điểm của \(PQ\).

2. **Sử dụng tính chất của tam giác vuông cân:**
- Trong tam giác vuông cân, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền cũng là đường cao và đường phân giác.
- Do đó, \(AE = BE\) và \(AF = CF\).
- Tương tự, \(AP = BP\) và \(AQ = CQ\).

3. **Tính chất đối xứng và trung điểm:**
- Vì \(M\) là trung điểm của \(EF\), \(M\) nằm trên đường trung trực của \(EF\).
- Vì \(N\) là trung điểm của \(PQ\), \(N\) nằm trên đường trung trực của \(PQ\).

4. **Sử dụng tính chất hình học:**
- Xét các tam giác vuông cân \(ABE\) và \(ACF\), ta có:
- \(AE = BE\) và \(AF = CF\).
- \(E\) và \(F\) là các điểm đối xứng qua \(AB\) và \(AC\) tương ứng.
- Xét các tam giác vuông cân \(ABP\) và \(ACQ\), ta có:
- \(AP = BP\) và \(AQ = CQ\).
- \(P\) và \(Q\) là các điểm đối xứng qua \(AB\) và \(AC\) tương ứng.

5. **Chứng minh \(MN \perp BC\):**
- Do \(M\) là trung điểm của \(EF\) và \(N\) là trung điểm của \(PQ\), ta có:
- \(M\) và \(N\) nằm trên các đường trung trực của \(EF\) và \(PQ\) tương ứng.
- Các đường trung trực của các đoạn thẳng \(EF\) và \(PQ\) đều vuông góc với \(BC\) vì các tam giác vuông cân \(ABE\), \(ACF\), \(ABP\), và \(ACQ\) có các cạnh huyền song song với \(BC\).

Do đó, \(MN\) là đường trung trực của đoạn thẳng nối các trung điểm của các cạnh huyền của các tam giác vuông cân, và vì các cạnh huyền này song song với \(BC\), nên \(MN \perp BC\).

Vậy, ta đã chứng minh được \(MN \perp BC\).