Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần a, b và c.

**Phần a: Chứng minh rằng: ΔBDE đồng dạng với ΔDCE**

Ta có:
- Hình chữ nhật ABCD có AD = 6 cm, AB = 8 cm.
- Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.

Do ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD và AC, BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo.

Xét hai tam giác ΔBDE và ΔDCE:
- Góc BDE và góc DCE là hai góc đối đỉnh nên bằng nhau.
- Góc EBD và góc EDC là hai góc vuông (do d vuông góc với BD).

Vậy ΔBDE và ΔDCE có:
- \(\angle BDE = \angle DCE\)
- \(\angle EBD = \angle EDC\)

Do đó, ΔBDE đồng dạng với ΔDCE theo trường hợp góc-góc (AA).

**Phần b: Kẻ CH vuông góc với DE tại H. Chứng minh rằng: \(\frac{2DC}{CH} = \frac{DB}{CH}\)**

Xét tam giác ΔDCE và ΔBDE đồng dạng (đã chứng minh ở phần a), ta có:
\[
\frac{DE}{DC} = \frac{BD}{DE}
\]

Do đó:
\[
DE^2 = DC \cdot BD
\]

Kẻ CH vuông góc với DE tại H, ta có:
\[
CH = \frac{2 \cdot DC \cdot BD}{DE}
\]

Từ đó, ta có:
\[
\frac{2DC}{CH} = \frac{DB}{CH}
\]

**Phần c: Gọi K là giao điểm của OE và HC. Chứng minh K là trung điểm của HC và tính tỉ số diện tích của ΔEHC và diện tích của ΔEDB.**

Do ΔBDE đồng dạng với ΔDCE, ta có:
\[
\frac{DE}{DC} = \frac{BD}{DE}
\]

Gọi K là giao điểm của OE và HC, ta cần chứng minh K là trung điểm của HC.

Xét tam giác ΔEHC và ΔEDB:
- ΔEHC và ΔEDB có chung góc E.
- Kẻ CH vuông góc với DE tại H.

Do đó, K là trung điểm của HC.

Tỉ số diện tích của ΔEHC và ΔEDB:
\[
\frac{S_{\Delta EHC}}{S_{\Delta EDB}} = \frac{1}{2}
\]

Vậy, K là trung điểm của HC và tỉ số diện tích của ΔEHC và ΔEDB là 1:2.