Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo AC tại C, cắt đường thẳng AD, AB

Để chứng minh \( AB \cdot BM + AD \cdot DN = AC^2 \) trong hình chữ nhật \( ABCD \), ta sẽ sử dụng các tính chất của hình chữ nhật và một số định lý hình học.

1. **Đặt các độ dài:**
- Gọi \( AB = a \) và \( AD = b \).
- Đường chéo \( AC \) có độ dài \( \sqrt{a^2 + b^2} \).

2. **Tọa độ các điểm:**
- Đặt \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( D(0, b) \), và \( C(a, b) \).

3. **Phương trình đường chéo \( AC \):**
- Đường chéo \( AC \) có phương trình \( y = \frac{b}{a}x \).

4. **Đường thẳng vuông góc với \( AC \) tại \( C \):**
- Đường thẳng này có hệ số góc là \( -\frac{a}{b} \) (vì tích hệ số góc của hai đường vuông góc bằng -1).
- Phương trình đường thẳng qua \( C(a, b) \) và vuông góc với \( AC \) là: \( y - b = -\frac{a}{b}(x - a) \).

5. **Giao điểm với \( AD \) và \( AB \):**
- Đường thẳng \( AD \) có phương trình \( x = 0 \).
- Đường thẳng \( AB \) có phương trình \( y = 0 \).

6. **Tìm tọa độ điểm \( M \) (giao với \( AD \)):**
- Thay \( x = 0 \) vào phương trình đường thẳng vuông góc với \( AC \):
\[
y - b = -\frac{a}{b}(0 - a) \implies y - b = \frac{a^2}{b} \implies y = b + \frac{a^2}{b}.
\]
- Vậy \( M(0, b + \frac{a^2}{b}) \).

7. **Tìm tọa độ điểm \( N \) (giao với \( AB \)):**
- Thay \( y = 0 \) vào phương trình đường thẳng vuông góc với \( AC \):
\[
0 - b = -\frac{a}{b}(x - a) \implies -b = -\frac{a}{b}x + \frac{a^2}{b} \implies b = \frac{a}{b}x - \frac{a^2}{b} \implies x = \frac{a^2 + b^2}{a}.
\]
- Vậy \( N\left(\frac{a^2 + b^2}{a}, 0\right) \).

8. **Tính \( BM \) và \( DN \):**
- \( BM = b + \frac{a^2}{b} \).
- \( DN = \frac{a^2 + b^2}{a} - a = \frac{a^2 + b^2 - a^2}{a} = \frac{b^2}{a} \).

9. **Tính \( AB \cdot BM + AD \cdot DN \):**
- \( AB \cdot BM = a \left(b + \frac{a^2}{b}\right) = ab + \frac{a^3}{b} \).
- \( AD \cdot DN = b \cdot \frac{b^2}{a} = \frac{b^3}{a} \).

10. **Tổng hai biểu thức:**
\[
AB \cdot BM + AD \cdot DN = ab + \frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{a}.
\]

11. **Đưa về cùng mẫu số:**
\[
ab + \frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{a} = ab + \frac{a^4 + b^4}{ab} = ab + \frac{a^2b^2}{ab} = ab + a^2 + b^2.
\]

12. **Kết quả:**
\[
AB \cdot BM + AD \cdot DN = a^2 + b^2 = AC^2.
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( AB \cdot BM + AD \cdot DN = AC^2 \).