Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x^2 + y^2 + m^2 \) với các điều kiện \( x + 2y - m = 4 \) và \( 2x + y + m = 11 \), ta có thể giải hệ phương trình này và sau đó tính giá trị của \( P \).

Đầu tiên, ta viết lại hệ phương trình:

1. \( x + 2y - m = 4 \)
2. \( 2x + y + m = 11 \)

Ta cộng hai phương trình này lại để loại bỏ \( m \):

\[ (x + 2y - m) + (2x + y + m) = 4 + 11 \]
\[ 3x + 3y = 15 \]
\[ x + y = 5 \quad \text{(3)} \]

Bây giờ, ta thay \( y = 5 - x \) vào phương trình đầu tiên:

\[ x + 2(5 - x) - m = 4 \]
\[ x + 10 - 2x - m = 4 \]
\[ -x + 10 - m = 4 \]
\[ -x - m = -6 \]
\[ x + m = 6 \quad \text{(4)} \]

Từ phương trình (3) và (4), ta có:

\[ y = 5 - x \]
\[ m = 6 - x \]

Bây giờ, ta thay \( y \) và \( m \) vào biểu thức \( P \):

\[ P = x^2 + y^2 + m^2 \]
\[ P = x^2 + (5 - x)^2 + (6 - x)^2 \]
\[ P = x^2 + (25 - 10x + x^2) + (36 - 12x + x^2) \]
\[ P = x^2 + 25 - 10x + x^2 + 36 - 12x + x^2 \]
\[ P = 3x^2 - 22x + 61 \]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), ta tính đạo hàm của \( P \) theo \( x \) và đặt nó bằng 0:

\[ \frac{dP}{dx} = 6x - 22 \]
\[ 6x - 22 = 0 \]
\[ 6x = 22 \]
\[ x = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} \]

Bây giờ, ta thay \( x = \frac{11}{3} \) vào \( y \) và \( m \):

\[ y = 5 - \frac{11}{3} = \frac{15}{3} - \frac{11}{3} = \frac{4}{3} \]
\[ m = 6 - \frac{11}{3} = \frac{18}{3} - \frac{11}{3} = \frac{7}{3} \]

Cuối cùng, ta tính \( P \):

\[ P = \left( \frac{11}{3} \right)^2 + \left( \frac{4}{3} \right)^2 + \left( \frac{7}{3} \right)^2 \]
\[ P = \frac{121}{9} + \frac{16}{9} + \frac{49}{9} \]
\[ P = \frac{121 + 16 + 49}{9} \]
\[ P = \frac{186}{9} \]
\[ P = 20.67 \]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x^2 + y^2 + m^2 \) là \( \frac{186}{9} \) hay \( 20.67 \).