Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu của đề bài.

### Phần a: Tính BC, AH, BH

1. **Tính BC:**
Tam giác ABC vuông tại A, nên ta áp dụng định lý Pythagoras:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
Thay số vào:
\[
BC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225
\]
Do đó:
\[
BC = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}
\]

2. **Tính AH:**
Đường cao AH trong tam giác vuông ABC có thể được tính bằng công thức:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]
Thay số vào:
\[
AH = \frac{9 \cdot 12}{15} = \frac{108}{15} = 7.2 \text{ cm}
\]

3. **Tính BH:**
Trong tam giác vuông ABC, ta có:
\[
BH = \sqrt{AB^2 - AH^2}
\]
Thay số vào:
\[
BH = \sqrt{9^2 - 7.2^2} = \sqrt{81 - 51.84} = \sqrt{29.16} \approx 5.4 \text{ cm}
\]

### Phần b: Chứng minh tam giác BMD đồng dạng với tam giác BAC

1. **Xác định các tam giác:**
- Tam giác BAC là tam giác vuông tại A.
- M là trung điểm của BC, nên BM = MC = \(\frac{BC}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ cm}\).
- Mx vuông góc với BC tại M, nên Mx là đường cao từ M đến BC.

2. **Chứng minh tam giác BMD đồng dạng với tam giác BAC:**
- Xét tam giác BMD và tam giác BAC:
- Góc BMD và góc BAC đều bằng 90 độ (do Mx vuông góc với BC và góc A = 90 độ).
- Góc B trong tam giác BMD và tam giác BAC là góc chung.

Do đó, theo trường hợp đồng dạng góc-góc (AA), ta có:
\[
\triangle BMD \sim \triangle BAC
\]

Vậy, ta đã chứng minh được tam giác BMD đồng dạng với tam giác BAC.