Để tính nhanh biểu thức \( \frac{1}{2} \times \left( \frac{5}{6} + \frac{11}{12} + \frac{19}{20} + \frac{29}{30} + \frac{41}{42} + \frac{55}{56} + \frac{71}{72} + \frac{89}{90} \right) \times \frac{81}{90} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tính tổng các phân số trong ngoặc:**

Để cộng các phân số này, chúng ta cần tìm mẫu số chung. Mẫu số chung của các phân số này là bội số chung nhỏ nhất (BCNN) của các mẫu số: 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, và 90.

- BCNN của 6 và 12 là 12.
- BCNN của 12 và 20 là 60.
- BCNN của 60 và 30 là 60.
- BCNN của 60 và 42 là 420.
- BCNN của 420 và 56 là 840.
- BCNN của 840 và 72 là 2520.
- BCNN của 2520 và 90 là 2520.

Vậy mẫu số chung là 2520.

Bây giờ, chúng ta quy đồng các phân số về mẫu số 2520 và cộng chúng lại:

\[
\frac{5}{6} = \frac{5 \times 420}{6 \times 420} = \frac{2100}{2520}
\]

\[
\frac{11}{12} = \frac{11 \times 210}{12 \times 210} = \frac{2310}{2520}
\]

\[
\frac{19}{20} = \frac{19 \times 126}{20 \times 126} = \frac{2394}{2520}
\]

\[
\frac{29}{30} = \frac{29 \times 84}{30 \times 84} = \frac{2436}{2520}
\]

\[
\frac{41}{42} = \frac{41 \times 60}{42 \times 60} = \frac{2460}{2520}
\]

\[
\frac{55}{56} = \frac{55 \times 45}{56 \times 45} = \frac{2475}{2520}
\]

\[
\frac{71}{72} = \frac{71 \times 35}{72 \times 35} = \frac{2485}{2520}
\]

\[
\frac{89}{90} = \frac{89 \times 28}{90 \times 28} = \frac{2492}{2520}
\]

Tổng các phân số:

\[
\frac{2100}{2520} + \frac{2310}{2520} + \frac{2394}{2520} + \frac{2436}{2520} + \frac{2460}{2520} + \frac{2475}{2520} + \frac{2485}{2520} + \frac{2492}{2520}
\]

\[
= \frac{2100 + 2310 + 2394 + 2436 + 2460 + 2475 + 2485 + 2492}{2520}
\]

\[
= \frac{19152}{2520}
\]

\[
= \frac{19152 \div 2520}{2520 \div 2520}
\]

\[
= \frac{19152}{2520} = 7.6
\]

2. **Nhân với \(\frac{1}{2}\) và \(\frac{81}{90}\):**

\[
\frac{1}{2} \times 7.6 \times \frac{81}{90}
\]

\[
= \frac{7.6}{2} \times \frac{81}{90}
\]

\[
= 3.8 \times \frac{81}{90}
\]

\[
= 3.8 \times 0.9
\]

\[
= 3.42
\]

Vậy giá trị của biểu thức là \( 3.42 \).