Cho tam giác ABC có I là trung điểm AB và J là trung điểm AC. Gọi M là điểm tùy ý trên BC. Trên tia đối tia IM lấy điểm N sao cho I là trung điểm MN, trên tia đối tia JM lấy điểm P sao cho J là trung điểm PJ. Chứng minh N, A, P thẳng hàng

Để chứng minh \(N, A, P\) thẳng hàng, ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ.

Giả sử tam giác \(ABC\) có các đỉnh \(A(0, 0)\), \(B(2, 0)\), và \(C(0, 2)\). Khi đó, các trung điểm \(I\) và \(J\) lần lượt có tọa độ:
\[ I \left( \frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = (1, 0) \]
\[ J \left( \frac{0+0}{2}, \frac{0+2}{2} \right) = (0, 1) \]

Giả sử \(M\) là điểm tùy ý trên \(BC\) với tọa độ \(M(x, 2-x)\), trong đó \(0 \leq x \leq 2\).

**Bước 1: Tìm tọa độ điểm \(N\)**

Điểm \(N\) nằm trên tia đối của tia \(IM\) và \(I\) là trung điểm của \(MN\). Do đó, tọa độ của \(N\) có thể được xác định bằng cách sử dụng công thức trung điểm:
\[ I = \left( \frac{M_x + N_x}{2}, \frac{M_y + N_y}{2} \right) \]
Thay tọa độ của \(I\) và \(M\):
\[ (1, 0) = \left( \frac{x + N_x}{2}, \frac{2-x + N_y}{2} \right) \]
Giải hệ phương trình này ta có:
\[ 1 = \frac{x + N_x}{2} \Rightarrow N_x = 2 - x \]
\[ 0 = \frac{2-x + N_y}{2} \Rightarrow N_y = x - 2 \]

Vậy tọa độ của \(N\) là \(N(2-x, x-2)\).

**Bước 2: Tìm tọa độ điểm \(P\)**

Điểm \(P\) nằm trên tia đối của tia \(JM\) và \(J\) là trung điểm của \(PJ\). Do đó, tọa độ của \(P\) có thể được xác định bằng cách sử dụng công thức trung điểm:
\[ J = \left( \frac{P_x + M_x}{2}, \frac{P_y + M_y}{2} \right) \]
Thay tọa độ của \(J\) và \(M\):
\[ (0, 1) = \left( \frac{P_x + x}{2}, \frac{P_y + (2-x)}{2} \right) \]
Giải hệ phương trình này ta có:
\[ 0 = \frac{P_x + x}{2} \Rightarrow P_x = -x \]
\[ 1 = \frac{P_y + (2-x)}{2} \Rightarrow P_y = x \]

Vậy tọa độ của \(P\) là \(P(-x, x)\).

**Bước 3: Chứng minh \(N, A, P\) thẳng hàng**

Ta cần chứng minh ba điểm \(N(2-x, x-2)\), \(A(0, 0)\), và \(P(-x, x)\) thẳng hàng. Để làm điều này, ta kiểm tra xem định thức của ma trận chứa tọa độ của ba điểm này có bằng 0 hay không:
\[
\begin{vmatrix}
2-x & x-2 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
-x & x & 1
\end{vmatrix}
\]

Tính định thức:
\[
\begin{vmatrix}
2-x & x-2 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
-x & x & 1
\end{vmatrix}
= (2-x) \begin{vmatrix}
0 & 1 \\
x & 1
\end{vmatrix}
- (x-2) \begin{vmatrix}
0 & 1 \\
-x & 1
\end{vmatrix}
+ 1 \begin{vmatrix}
0 & 0 \\
-x & x
\end{vmatrix}
\]

Tính các định thức con:
\[
\begin{vmatrix}
0 & 1 \\
x & 1
\end{vmatrix}
= 0 \cdot 1 - 1 \cdot x = -x
\]
\[
\begin{vmatrix}
0 & 1 \\
-x & 1
\end{vmatrix}
= 0 \cdot 1 - 1 \cdot (-x) = x
\]
\[
\begin{vmatrix}
0 & 0 \\
-x & x
\end{vmatrix}
= 0 \cdot x - 0 \cdot (-x) = 0
\]

Vậy:
\[
(2-x)(-x) - (x-2)x + 1 \cdot 0 = -x(2-x) - x(x-2) = -2x + x^2 - x^2 + 2x = 0
\]

Do định thức bằng 0, ba điểm \(N, A, P\) thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh được rằng \(N, A, P\) thẳng hàng.