Giả sử tồn tại 16 số hữu tỉ phân biệt \( a_1, a_2, \ldots, a_{16} \) thỏa mãn điều kiện tổng của 12 số bất kỳ trong các số đó là số dương và tổng của 8 số bất kỳ trong các số đó là số âm.

Trước hết, xét tổng của tất cả 16 số:
\[ S = a_1 + a_2 + \cdots + a_{16}. \]

Xét tổng của 12 số bất kỳ trong 16 số này, ta có:
\[ T_{12} = a_{i_1} + a_{i_2} + \cdots + a_{i_{12}} > 0, \]
với \( 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_{12} \le 16 \).

Xét tổng của 8 số bất kỳ trong 16 số này, ta có:
\[ T_{8} = a_{j_1} + a_{j_2} + \cdots + a_{j_8} < 0, \]
với \( 1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_{8} \le 16 \).

Bây giờ, xét tổng của tất cả các tổ hợp 12 số từ 16 số:
\[ \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_{12} \le 16} (a_{i_1} + a_{i_2} + \cdots + a_{i_{12}}). \]

Mỗi số \( a_k \) xuất hiện trong \( \binom{15}{11} = 1365 \) tổ hợp 12 số. Do đó, tổng của tất cả các tổ hợp 12 số là:
\[ 1365 \times (a_1 + a_2 + \cdots + a_{16}) = 1365S. \]

Vì tổng của mỗi tổ hợp 12 số là dương, ta có:
\[ 1365S > 0 \Rightarrow S > 0. \]

Tiếp theo, xét tổng của tất cả các tổ hợp 8 số từ 16 số:
\[ \sum_{1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_{8} \le 16} (a_{j_1} + a_{j_2} + \cdots + a_{j_{8}}). \]

Mỗi số \( a_k \) xuất hiện trong \( \binom{15}{7} = 6435 \) tổ hợp 8 số. Do đó, tổng của tất cả các tổ hợp 8 số là:
\[ 6435 \times (a_1 + a_2 + \cdots + a_{16}) = 6435S. \]

Vì tổng của mỗi tổ hợp 8 số là âm, ta có:
\[ 6435S < 0 \Rightarrow S < 0. \]

Điều này mâu thuẫn với kết quả trước đó \( S > 0 \). Do đó, không tồn tại 16 số hữu tỉ phân biệt thỏa mãn điều kiện đã cho.