Giả sử tồn tại 16 số hữu tỉ phân biệt \( a_1, a_2, \ldots, a_{16} \) thỏa mãn điều kiện tổng của 12 số bất kỳ trong các số đó là số dương và tổng của 8 số bất kỳ trong các số đó là số âm. Ta sẽ chứng minh rằng điều này là không thể.

Trước hết, xét tổng của tất cả 16 số:
\[ S = a_1 + a_2 + \cdots + a_{16}. \]

Xét tổng của 12 số bất kỳ trong 16 số này. Theo giả thiết, tổng này luôn là số dương. Do đó, tổng của 4 số còn lại phải là số âm (vì tổng của tất cả 16 số là tổng của 12 số cộng với tổng của 4 số còn lại).

Bây giờ, xét tổng của 8 số bất kỳ trong 16 số này. Theo giả thiết, tổng này luôn là số âm. Do đó, tổng của 8 số còn lại phải là số dương (vì tổng của tất cả 16 số là tổng của 8 số cộng với tổng của 8 số còn lại).

Từ hai điều kiện trên, ta có:
1. Tổng của 12 số bất kỳ là số dương.
2. Tổng của 8 số bất kỳ là số âm.

Xét tổng của tất cả các số \( S \). Nếu ta chọn 12 số bất kỳ, tổng của chúng là số dương, và tổng của 4 số còn lại là số âm. Do đó, tổng của tất cả 16 số \( S \) phải là số dương trừ đi số âm, tức là một số dương.

Ngược lại, nếu ta chọn 8 số bất kỳ, tổng của chúng là số âm, và tổng của 8 số còn lại là số dương. Do đó, tổng của tất cả 16 số \( S \) phải là số âm trừ đi số dương, tức là một số âm.

Điều này dẫn đến mâu thuẫn vì \( S \) không thể vừa là số dương vừa là số âm. Do đó, không tồn tại 16 số hữu tỉ phân biệt thỏa mãn điều kiện đã cho.

Vậy, kết luận là không tồn tại 16 số hữu tỉ phân biệt thỏa mãn tổng của 12 số bất kỳ trong các số đó là số dương và tổng của 8 số bất kỳ trong các số đó là số âm.