Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xem xét các điều kiện được đưa ra và kiểm tra xem có tồn tại 16 số hữu tỉ phân biệt thỏa mãn các điều kiện đó hay không.

Giả sử có 16 số hữu tỉ phân biệt \( a_1, a_2, \ldots, a_{16} \). Điều kiện đầu tiên là tổng của bất kỳ 12 số nào trong số này phải là số dương. Điều kiện thứ hai là tổng của bất kỳ 8 số nào trong số này phải là số âm.

Trước tiên, hãy xem xét điều kiện đầu tiên. Nếu tổng của bất kỳ 12 số nào trong số 16 số này là số dương, điều này có nghĩa là tổng của tất cả 16 số phải lớn hơn tổng của bất kỳ 4 số nào trong số đó. Nói cách khác, tổng của 16 số phải lớn hơn tổng của bất kỳ 4 số nào.

Giả sử tổng của tất cả 16 số là \( S = a_1 + a_2 + \cdots + a_{16} \). Nếu tổng của bất kỳ 12 số nào là dương, thì tổng của 4 số còn lại phải là âm (vì tổng của 16 số là tổng của 12 số cộng với tổng của 4 số còn lại). Điều này có nghĩa là tổng của 4 số bất kỳ phải là âm.

Bây giờ, hãy xem xét điều kiện thứ hai. Nếu tổng của bất kỳ 8 số nào trong số 16 số này là số âm, điều này có nghĩa là tổng của tất cả 16 số phải nhỏ hơn tổng của bất kỳ 8 số nào trong số đó. Nói cách khác, tổng của 16 số phải nhỏ hơn tổng của bất kỳ 8 số nào.

Tuy nhiên, hai điều kiện này mâu thuẫn với nhau. Điều kiện đầu tiên yêu cầu tổng của 16 số phải lớn hơn tổng của bất kỳ 4 số nào, trong khi điều kiện thứ hai yêu cầu tổng của 16 số phải nhỏ hơn tổng của bất kỳ 8 số nào. Do đó, không thể tồn tại 16 số hữu tỉ phân biệt thỏa mãn cả hai điều kiện này cùng một lúc.

Vì vậy, câu trả lời là không, không tồn tại 16 số hữu tỉ phân biệt thỏa mãn tổng của 12 số bất kỳ trong các số đó là số dương và tổng của 8 số bất kỳ trong các số đó là số âm.