Để giải phương trình \(|x + \frac{1}{2}| + |x + \frac{1}{6}| + |x + \frac{1}{12}| + |x + \frac{1}{20}| + |x + \frac{1}{30}| = 6x\), ta cần xét các trường hợp khác nhau của \(x\) để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

### Bước 1: Xác định các điểm quan trọng
Các điểm quan trọng là các giá trị của \(x\) tại đó các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối bằng 0:
- \(x + \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}\)
- \(x + \frac{1}{6} = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{6}\)
- \(x + \frac{1}{12} = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{12}\)
- \(x + \frac{1}{20} = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{20}\)
- \(x + \frac{1}{30} = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{30}\)

### Bước 2: Xét các khoảng giữa các điểm quan trọng
Chúng ta sẽ xét các khoảng giữa các điểm này để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

#### Trường hợp 1: \(x \geq -\frac{1}{2}\)
Trong khoảng này, tất cả các giá trị tuyệt đối đều dương:
\[ |x + \frac{1}{2}| = x + \frac{1}{2} \]
\[ |x + \frac{1}{6}| = x + \frac{1}{6} \]
\[ |x + \frac{1}{12}| = x + \frac{1}{12} \]
\[ |x + \frac{1}{20}| = x + \frac{1}{20} \]
\[ |x + \frac{1}{30}| = x + \frac{1}{30} \]

Phương trình trở thành:
\[ x + \frac{1}{2} + x + \frac{1}{6} + x + \frac{1}{12} + x + \frac{1}{20} + x + \frac{1}{30} = 6x \]

Gộp các hạng tử lại:
\[ 5x + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30}\right) = 6x \]

Tính tổng các phân số:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} \]
Tìm mẫu số chung nhỏ nhất (LCM) của 2, 6, 12, 20, và 30 là 60:
\[ \frac{30}{60} + \frac{10}{60} + \frac{5}{60} + \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{50}{60} = \frac{5}{6} \]

Phương trình trở thành:
\[ 5x + \frac{5}{6} = 6x \]
\[ \frac{5}{6} = x \]

Vậy nghiệm \(x = \frac{5}{6}\) nằm trong khoảng \(x \geq -\frac{1}{2}\).

#### Trường hợp 2: \( -\frac{1}{6} \leq x < -\frac{1}{12} \)
Trong khoảng này, ta cần xét dấu của từng giá trị tuyệt đối. Tuy nhiên, thay vì xét từng khoảng, ta có thể thấy rằng nghiệm \(x = \frac{5}{6}\) đã thỏa mãn phương trình ban đầu và nằm trong khoảng hợp lệ.

### Kết luận
Nghiệm của phương trình \(|x + \frac{1}{2}| + |x + \frac{1}{6}| + |x + \frac{1}{12}| + |x + \frac{1}{20}| + |x + \frac{1}{30}| = 6x\) là:
\[ x = \frac{5}{6} \]