Gọi \( x \) là số dụng cụ mà xí nghiệp 1 phải làm theo kế hoạch và \( y \) là số dụng cụ mà xí nghiệp 2 phải làm theo kế hoạch. Theo đề bài, ta có phương trình:

\[ x + y = 360 \]

Xí nghiệp 1 vượt mức 12%, tức là xí nghiệp 1 làm được \( x + 0.12x = 1.12x \) dụng cụ.

Xí nghiệp 2 vượt mức 10%, tức là xí nghiệp 2 làm được \( y + 0.10y = 1.10y \) dụng cụ.

Tổng số dụng cụ mà cả hai xí nghiệp làm thêm là 40 dụng cụ, do đó ta có phương trình:

\[ 1.12x + 1.10y = 360 + 40 \]

\[ 1.12x + 1.10y = 400 \]

Bây giờ ta có hệ phương trình:

\[ \begin{cases}
x + y = 360 \\
1.12x + 1.10y = 400
\end{cases} \]

Giải phương trình thứ nhất để tìm \( y \):

\[ y = 360 - x \]

Thay \( y \) vào phương trình thứ hai:

\[ 1.12x + 1.10(360 - x) = 400 \]

\[ 1.12x + 396 - 1.10x = 400 \]

\[ 0.02x + 396 = 400 \]

\[ 0.02x = 4 \]

\[ x = \frac{4}{0.02} \]

\[ x = 200 \]

Thay \( x = 200 \) vào phương trình \( y = 360 - x \):

\[ y = 360 - 200 \]

\[ y = 160 \]

Vậy số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch là:
- Xí nghiệp 1: 200 dụng cụ
- Xí nghiệp 2: 160 dụng cụ