Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán này.

**Phần a)** Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật.

- Ta có \(MD \perp AB\) tại D và \(ME \perp AC\) tại E.
- Vì M là trung điểm của BC nên \(MB = MC\).
- Xét tam giác vuông ABC tại A, ta có:
- \(MD \perp AB\) tại D => AD là đường cao từ D xuống AB.
- \(ME \perp AC\) tại E => AE là đường cao từ E xuống AC.
- Do đó, AD và AE đều là các cạnh vuông góc với nhau.
- Tứ giác ADME có 4 góc vuông và các cạnh đối song song với nhau.

Vậy, tứ giác ADME là hình chữ nhật.

**Phần b)** Chứng minh \(BC = 2DE\).

- Vì M là trung điểm của BC, nên \(BM = MC = \frac{BC}{2}\).
- Xét tam giác vuông MDE:
- \(MD \perp AB\) và \(ME \perp AC\).
- Do đó, DE là đoạn thẳng nối hai điểm D và E trên hai cạnh vuông góc của tam giác vuông ABC.
- Xét tam giác vuông ABC tại A, ta có:
- \(BC\) là cạnh huyền của tam giác vuông ABC.
- \(DE\) là đoạn thẳng nối hai điểm D và E trên hai cạnh vuông góc của tam giác vuông ABC.
- Vì M là trung điểm của BC, nên \(DE = \frac{BC}{2}\).

Vậy, \(BC = 2DE\).

**Phần c)** Lấy N sao cho D là trung điểm MN, tứ giác AMBN là hình gì?

- Vì D là trung điểm của MN, nên \(MD = DN\).
- Xét tam giác vuông ABC tại A, ta có:
- M là trung điểm của BC.
- D là trung điểm của MN.
- Do đó, tứ giác AMBN có:
- AM = MB (vì M là trung điểm của BC).
- AD = DN (vì D là trung điểm của MN).
- Tứ giác AMBN có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Vậy, tứ giác AMBN là hình bình hành.

**Phần d)** Lấy K sao cho E là trung điểm MK. Chứng minh A là trung điểm NK.

- Vì E là trung điểm của MK, nên \(ME = EK\).
- Xét tam giác vuông ABC tại A, ta có:
- M là trung điểm của BC.
- E là trung điểm của MK.
- Do đó, tứ giác AMEK có:
- AM = ME (vì M là trung điểm của BC và E là trung điểm của MK).
- AE = EK (vì E là trung điểm của MK).
- Tứ giác AMEK có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Vậy, A là trung điểm của NK.