Để chứng minh rằng \((10a + 5)^2 = 100a(a + 1) + 25\), ta thực hiện các bước sau:

1. Ta bắt đầu với biểu thức \((10a + 5)^2\):
\[
(10a + 5)^2 = (10a + 5)(10a + 5)
\]

2. Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng:
\[
(10a + 5)^2 = 10a \cdot 10a + 2 \cdot 10a \cdot 5 + 5 \cdot 5
\]

3. Tính từng phần:
\[
10a \cdot 10a = 100a^2
\]
\[
2 \cdot 10a \cdot 5 = 100a
\]
\[
5 \cdot 5 = 25
\]

4. Cộng các kết quả lại:
\[
(10a + 5)^2 = 100a^2 + 100a + 25
\]

5. Nhận thấy rằng:
\[
100a^2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\[
(10a + 5)^2 = 100a(a + 1) + 25
\]

Từ đó, ta có cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5 như sau:
- Gọi số đó là \(10a + 5\).
- Tính \(a(a + 1)\).
- Nhân kết quả đó với 100.
- Cộng thêm 25 vào kết quả cuối cùng.

Áp dụng để tính:
1. \(15^2\):
- \(a = 1\)
- \(a(a + 1) = 1 \cdot 2 = 2\)
- \(100 \cdot 2 + 25 = 200 + 25 = 225\)
- Vậy \(15^2 = 225\)

2. \(55^2\):
- \(a = 5\)
- \(a(a + 1) = 5 \cdot 6 = 30\)
- \(100 \cdot 30 + 25 = 3000 + 25 = 3025\)
- Vậy \(55^2 = 3025\)

3. \(75^2\):
- \(a = 7\)
- \(a(a + 1) = 7 \cdot 8 = 56\)
- \(100 \cdot 56 + 25 = 5600 + 25 = 5625\)
- Vậy \(75^2 = 5625\)

4. \(105^2\):
- \(a = 10\)
- \(a(a + 1) = 10 \cdot 11 = 110\)
- \(100 \cdot 110 + 25 = 11000 + 25 = 11025\)
- Vậy \(105^2 = 11025\)

Như vậy, ta đã chứng minh và áp dụng cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5.