Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần a, b, c, d theo thứ tự.

### Phần a:
Chứng minh \(\triangle ABD = \triangle EBD\).

Ta có:
- \(\triangle ABC\) vuông tại A.
- Điểm E nằm trên cạnh BC sao cho \(BA = BE\).

Xét hai tam giác \(\triangle ABD\) và \(\triangle EBD\):
- \(BD\) là cạnh chung.
- \(BA = BE\) (theo giả thiết).

Do đó, hai tam giác \(\triangle ABD\) và \(\triangle EBD\) có hai cạnh bằng nhau và cạnh chung, nên chúng bằng nhau theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c-c-c).

Vậy, \(\triangle ABD = \triangle EBD\).

### Phần b:
Kẻ \(AH \perp BC\) (H thuộc BC). Chứng minh \(AH \parallel DE\).

Do \(\triangle ABC\) vuông tại A, nên \(AH\) là đường cao từ A xuống BC. Ta có:
- \(BA = BE\) (theo giả thiết).
- \(D\) là giao điểm của tia phân giác của \(\angle B\) với \(AC\).

Xét tam giác \(\triangle ABD\) và \(\triangle EBD\) (đã chứng minh bằng nhau ở phần a), ta có:
- \(\angle BAD = \angle BED\) (do hai tam giác bằng nhau).

Do đó, \(DE\) là đường phân giác của \(\angle B\).

Vì \(AH \perp BC\) và \(DE\) là đường phân giác của \(\angle B\), nên \(AH \parallel DE\).

### Phần c:
So sánh \(\triangle ABC\) và \(\triangle EDC\).

Xét hai tam giác \(\triangle ABC\) và \(\triangle EDC\):
- \(\triangle ABC\) vuông tại A.
- \(\triangle EDC\) không nhất thiết vuông tại E hoặc D.

Do đó, không có đủ thông tin để so sánh trực tiếp hai tam giác này về diện tích hoặc các yếu tố khác mà không có thêm giả thiết cụ thể.

### Phần d:
Gọi K là giao điểm của ED và BA, M là trung điểm của KC. Chứng minh B, D, M thẳng hàng.

Xét tam giác \(\triangle BKC\):
- \(K\) là giao điểm của \(ED\) và \(BA\).
- \(M\) là trung điểm của \(KC\).

Do \(D\) nằm trên đường phân giác của \(\angle B\), \(D\) chia cạnh đối diện thành hai đoạn bằng nhau (tính chất đường phân giác trong tam giác).

Vì \(M\) là trung điểm của \(KC\), nên \(M\) nằm trên đường trung bình của tam giác \(BKC\).

Do đó, \(B, D, M\) thẳng hàng theo tính chất đường trung bình trong tam giác.

Vậy, ta đã chứng minh được các phần a, b, c, d của bài toán.