Để điền vào chỗ trống, chúng ta cần sử dụng các công thức bình phương của một tổng và bình phương của một hiệu. Cụ thể:

a) \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)

b) \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\)

Áp dụng các công thức này vào các bài toán cụ thể:

a) \(4x^2 + 12x + .... = (.... + 3)^2\)

Ta có \(4x^2 + 12x + ....\) có dạng \(a^2 + 2ab + b^2\).

- \(a^2 = 4x^2\) => \(a = 2x\)
- \(2ab = 12x\) => \(2 \cdot 2x \cdot b = 12x\) => \(4b = 12\) => \(b = 3\)
- \(b^2 = 3^2 = 9\)

Vậy \(4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2\).

b) \(.... + 10xy + 25y^2 = (x + ....)^2\)

Ta có \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\).

- \(2ab = 10xy\) => \(2a \cdot y = 10xy\) => \(2a = 10\) => \(a = 5\)
- \(b^2 = 25y^2\) => \(b = 5y\)

Vậy \(x^2 + 10xy + 25y^2 = (x + 5y)^2\).

c) \(x^2 - x + .... = (.... - 1/2)^2\)

Ta có \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\).

- \(a^2 = x^2\) => \(a = x\)
- \(2ab = x\) => \(2x \cdot b = x\) => \(2b = 1\) => \(b = 1/2\)
- \(b^2 = (1/2)^2 = 1/4\)

Vậy \(x^2 - x + 1/4 = (x - 1/2)^2\).

d) \(.... - 28xy + 49y^2 = (... - ...)^2\)

Ta có \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\).

- \(2ab = 28xy\) => \(2a \cdot y = 28xy\) => \(2a = 28\) => \(a = 14\)
- \(b^2 = 49y^2\) => \(b = 7y\)

Vậy \(14x^2 - 28xy + 49y^2 = (14x - 7y)^2\).

Tóm lại:

a) \(4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2\)

b) \(x^2 + 10xy + 25y^2 = (x + 5y)^2\)

c) \(x^2 - x + 1/4 = (x - 1/2)^2\)

d) \(14x^2 - 28xy + 49y^2 = (14x - 7y)^2\)