Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần.

### Phần a: Chứng minh tam giác ABE = tam giác HBE

1. **Góc chung:**
- Tam giác ABE và tam giác HBE có góc chung là góc \( \angle ABE \).

2. **Góc vuông:**
- Ta có \( \angle A = 90^\circ \) và \( \angle EHA = 90^\circ \) (do \( EH \perp BC \)).

3. **Tia phân giác:**
- Vì BE là tia phân giác của góc \( \angle ABC \), nên \( \angle ABE = \angle HBE \).

4. **Cạnh chung:**
- BE là cạnh chung của hai tam giác ABE và HBE.

Từ các yếu tố trên, ta có:
- \( \angle ABE = \angle HBE \) (góc chung)
- \( \angle AEB = \angle HEB \) (góc vuông)
- BE là cạnh chung

Do đó, theo trường hợp góc - cạnh - góc (G-C-G), ta có:
\[ \triangle ABE = \triangle HBE \]

### Phần b: Chứng minh BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH

1. **Tam giác vuông:**
- Ta đã biết \( \triangle ABE = \triangle HBE \) từ phần a.

2. **Đường trung trực:**
- Vì \( \triangle ABE = \triangle HBE \), nên \( AE = EH \).

3. **Góc vuông:**
- \( \angle AEB = \angle HEB = 90^\circ \).

4. **Đối xứng:**
- BE là tia phân giác của góc \( \angle ABC \), do đó BE cũng là đường trung trực của đoạn thẳng AH vì nó chia đoạn thẳng AH thành hai đoạn bằng nhau và vuông góc với AH tại điểm E.

Từ các yếu tố trên, ta có:
- BE chia AH thành hai đoạn bằng nhau (AE = EH).
- BE vuông góc với AH tại điểm E.

Do đó, BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.

Vậy ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.