Cho tứ giác ABCD, ABC = 150°, góc C vuông và cạnh AB bằng cạnh CD. Xác định giữa BC và đường thẳng nối các trung điểm của cạnh BC và AD

### Bài 10

Cho tứ giác \(ABCD\) với các điều kiện sau:
- \(\angle ABC = 150^\circ\)
- \(\angle C = 90^\circ\)
- \(AB = CD\)

Ta cần xác định mối quan hệ giữa \(BC\) và đường thẳng nối các trung điểm của cạnh \(BC\) và \(AD\).

**Giải:**

1. **Xác định các góc và cạnh:**

- \(\angle C = 90^\circ\) nghĩa là \(C\) là góc vuông.
- \(\angle ABC = 150^\circ\) nghĩa là \(\angle DAB = 30^\circ\) (vì tổng các góc trong tứ giác là \(360^\circ\)).
- \(AB = CD\).

2. **Trung điểm của các cạnh:**

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).
- Gọi \(N\) là trung điểm của \(AD\).

3. **Xác định mối quan hệ:**

- Xét tam giác \(BCD\) vuông tại \(C\), với \(BC\) và \(CD\) là hai cạnh vuông góc.
- Xét tam giác \(ABD\) với \(AB = CD\) và \(\angle DAB = 30^\circ\).

Do \(AB = CD\), tam giác \(ABD\) cân tại \(A\).

4. **Đường trung bình:**

- Đường thẳng nối trung điểm \(M\) của \(BC\) và trung điểm \(N\) của \(AD\) là đường trung bình của tứ giác \(ABCD\).
- Đường trung bình này song song với \(BD\) và bằng nửa độ dài của \(BD\).

Vậy, đường thẳng nối các trung điểm của cạnh \(BC\) và \(AD\) song song với \(BD\) và bằng nửa độ dài của \(BD\).

### Bài 11

Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng 1. Gọi \(M, N\) tương ứng là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Gọi \(E, F\) tương ứng là hình chiếu vuông góc của \(B, D\) lên \(CM\). Tính diện tích \(\triangle NEF\).

**Giải:**

1. **Xác định các điểm:**

- \(M\) là trung điểm của \(AB\), nên \(M\) có tọa độ \((\frac{1}{2}, 1)\).
- \(N\) là trung điểm của \(CD\), nên \(N\) có tọa độ \((\frac{1}{2}, 0)\).
- \(C\) có tọa độ \((0, 0)\).

2. **Phương trình đường thẳng \(CM\):**

- Đường thẳng \(CM\) đi qua \(C(0,0)\) và \(M(\frac{1}{2}, 1)\).
- Phương trình đường thẳng \(CM\) là \(y = 2x\).

3. **Hình chiếu vuông góc:**

- Hình chiếu của \(B(1, 1)\) lên \(CM\):
- Gọi \(E(x_1, y_1)\) là hình chiếu của \(B\) lên \(CM\).
- Do \(E\) nằm trên \(CM\), nên \(y_1 = 2x_1\).
- Đường thẳng \(BE\) vuông góc với \(CM\), nên hệ số góc của \(BE\) là \(-\frac{1}{2}\).
- Phương trình \(BE\): \(y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)\).
- Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
y = 2x \\
y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)
\end{cases}
\]
Ta có \(2x - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)\).
\[
2x - 1 = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}
\]
\[
2.5x = 1.5 \implies x = \frac{3}{5}
\]
\[
y = 2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5}
\]
Vậy \(E\left(\frac{3}{5}, \frac{6}{5}\right)\).

- Hình chiếu của \(D(0, 1)\) lên \(CM\):
- Gọi \(F(x_2, y_2)\) là hình chiếu của \(D\) lên \(CM\).
- Do \(F\) nằm trên \(CM\), nên \(y_2 = 2x_2\).
- Đường thẳng \(DF\) vuông góc với \(CM\), nên hệ số góc của \(DF\) là \(-\frac{1}{2}\).
- Phương trình \(DF\): \(y - 1 = -\frac{1}{2}x\).
- Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
y = 2x \\
y - 1 = -\frac{1}{2}x
\end{cases}
\]
Ta có \(2x - 1 = -\frac{1}{2}x\).
\[
2.5x = 1 \implies x = \frac{2}{5}
\]
\[
y = 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5}
\]
Vậy \(F\left(\frac{2}{5}, \frac{4}{5}\right)\).

4. **Diện tích \(\triangle NEF\):**

- Tọa độ các điểm:
- \(N\left(\frac{1}{2}, 0\right)\)
- \(E\left(\frac{3}{5}, \frac{6}{5}\right)\)
- \(F\left(\frac{2}{5}, \frac{4}{5}\right)\)

- Diện tích tam giác \(NEF\) được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]
\[
S = \frac{1}{2} \left| \frac{1}{2}\left(\frac{6}{5} - \frac{4}{5}\right) + \frac{3}{5}\left(\frac{4}{5} - 0\right) + \frac{2}{5}\left(0 - \frac{6}{5}\right) \right|
\]
\[
S = \frac{1}{2} \left| \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} + \frac{2}{5} \cdot \left(-\frac{6}{5}\right) \right|
\]
\[
S = \frac{1}{2} \left| \frac{1}{5} + \frac{12}{25} - \frac{12}{25} \right|
\]
\[
S = \frac{1}{2} \left| \frac{1}{5} \right|
\]
\[
S = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10}
\]

Vậy diện tích \(\triangle NEF\) là \(\frac{1}{10}\).