Để chứng minh các điều kiện cho \( A = 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{20} \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của số học và lý thuyết số.

### A) Chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 5

Mỗi số hạng trong dãy \( A \) đều là bội của 5. Do đó, tổng của các số hạng này cũng sẽ là bội của 5. Cụ thể:

\[ A = 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{20} \]

Mỗi số hạng \( 5^k \) (với \( k \geq 1 \)) đều chia hết cho 5. Vì vậy, tổng của các số hạng này cũng chia hết cho 5.

### B) Chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 6

Để chứng minh \( A \) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng \( A \) chia hết cho cả 2 và 3.

#### Chứng minh \( A \) chia hết cho 2

Ta xét tổng các số hạng của \( A \) theo modulo 2:

\[ 5 \equiv 1 \pmod{2} \]
\[ 5^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{2} \]
\[ 5^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \pmod{2} \]
\[ \vdots \]
\[ 5^{20} \equiv 1^{20} \equiv 1 \pmod{2} \]

Do đó, tổng của các số hạng này là:

\[ A \equiv 1 + 1 + 1 + \ldots + 1 \pmod{2} \]

Có tổng cộng 20 số hạng, nên:

\[ A \equiv 20 \times 1 \equiv 20 \equiv 0 \pmod{2} \]

Vậy \( A \) chia hết cho 2.

#### Chứng minh \( A \) chia hết cho 3

Ta xét tổng các số hạng của \( A \) theo modulo 3:

\[ 5 \equiv 2 \pmod{3} \]
\[ 5^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3} \]
\[ 5^3 \equiv 2^3 \equiv 8 \equiv 2 \pmod{3} \]
\[ 5^4 \equiv 2^4 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{3} \]
\[ \vdots \]

Ta thấy rằng \( 5^k \) modulo 3 lặp lại theo chu kỳ 2, 1. Do đó, tổng của các số hạng này là:

\[ A \equiv 2 + 1 + 2 + 1 + \ldots + 2 + 1 \pmod{3} \]

Có tổng cộng 20 số hạng, và mỗi cặp (2, 1) có tổng là 3, chia hết cho 3. Vì vậy:

\[ A \equiv 10 \times (2 + 1) \equiv 10 \times 3 \equiv 0 \pmod{3} \]

Vậy \( A \) chia hết cho 3.

Kết hợp lại, \( A \) chia hết cho cả 2 và 3, do đó \( A \) chia hết cho 6.

### C) Chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 13

Ta xét tổng các số hạng của \( A \) theo modulo 13:

\[ 5 \equiv 5 \pmod{13} \]
\[ 5^2 \equiv 25 \equiv 12 \equiv -1 \pmod{13} \]
\[ 5^3 \equiv 5 \times (-1) \equiv -5 \pmod{13} \]
\[ 5^4 \equiv (-1) \times (-1) \equiv 1 \pmod{13} \]
\[ 5^5 \equiv 5 \times 1 \equiv 5 \pmod{13} \]
\[ \vdots \]

Ta thấy rằng \( 5^k \) modulo 13 lặp lại theo chu kỳ 4: 5, -1, -5, 1. Do đó, tổng của các số hạng này là:

\[ A \equiv (5 + (-1) + (-5) + 1) + (5 + (-1) + (-5) + 1) + \ldots \pmod{13} \]

Có tổng cộng 20 số hạng, và mỗi chu kỳ 4 số hạng có tổng là:

\[ 5 + (-1) + (-5) + 1 \equiv 0 \pmod{13} \]

Vì vậy, tổng của các số hạng này là:

\[ A \equiv 5 \times 0 \equiv 0 \pmod{13} \]

Vậy \( A \) chia hết cho 13.

Tóm lại, ta đã chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 5, 6 và 13.