Để chứng minh rằng \( DK = KE \), ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học phẳng và các tam giác vuông.

1. **Xác định các điểm và tính chất:**
- \( AD \perp AB \) và \( AD = AB \).
- \( AE \perp AC \) và \( AE = AC \).
- \( AH \perp BC \).

2. **Xét các tam giác vuông:**
- Tam giác \( ABD \) vuông tại \( D \) với \( AD = AB \).
- Tam giác \( AEC \) vuông tại \( E \) với \( AE = AC \).

3. **Tính chất đối xứng:**
- Do \( AD = AB \) và \( AE = AC \), ta có các tam giác \( ABD \) và \( AEC \) là các tam giác vuông cân.
- Điều này dẫn đến việc \( D \) và \( E \) là các điểm đối xứng qua \( A \).

4. **Tính chất của đường cao \( AH \):**
- \( AH \perp BC \) và \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).

5. **Xét đường thẳng \( DE \):**
- Đường thẳng \( DE \) là đường thẳng nối hai điểm đối xứng \( D \) và \( E \) qua \( A \).

6. **Xét điểm \( K \):**
- \( K \) là giao điểm của đường thẳng \( HA \) và \( DE \).

7. **Chứng minh \( DK = KE \):**
- Do \( D \) và \( E \) đối xứng qua \( A \), đường thẳng \( DE \) sẽ chia đoạn thẳng \( DE \) thành hai đoạn bằng nhau tại điểm \( K \).
- Vì \( HA \) là đường cao từ \( A \) và cũng là đường trung trực của đoạn \( DE \) (do tính chất đối xứng của các tam giác vuông cân), nên \( K \) sẽ là trung điểm của \( DE \).

Do đó, ta có \( DK = KE \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( DK = KE \).