Để giải bài toán này, ta cần thiết lập các phương trình dựa trên các thông tin đã cho và giải hệ phương trình đó.

Gọi chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là \( L \) (m) và chiều rộng ban đầu là \( W \) (m).

1. **Chu vi của hình chữ nhật:**
Chu vi của hình chữ nhật được tính bằng công thức:
\[
2(L + W) = 124
\]
Suy ra:
\[
L + W = 62 \quad \text{(1)}
\]

2. **Diện tích tăng thêm:**
Khi chiều dài tăng thêm 5m và chiều rộng tăng thêm 3m, diện tích tăng thêm 225m². Diện tích ban đầu là \( L \times W \), diện tích mới là \( (L + 5) \times (W + 3) \). Do đó:
\[
(L + 5)(W + 3) = L \times W + 225
\]
Mở rộng phương trình trên:
\[
LW + 3L + 5W + 15 = LW + 225
\]
Rút gọn:
\[
3L + 5W + 15 = 225
\]
Suy ra:
\[
3L + 5W = 210 \quad \text{(2)}
\]

Bây giờ ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
L + W = 62 \\
3L + 5W = 210
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:

Từ phương trình (1), ta có:
\[
W = 62 - L
\]

Thay vào phương trình (2):
\[
3L + 5(62 - L) = 210
\]
\[
3L + 310 - 5L = 210
\]
\[
-2L + 310 = 210
\]
\[
-2L = 210 - 310
\]
\[
-2L = -100
\]
\[
L = 50
\]

Thay \( L = 50 \) vào phương trình (1):
\[
50 + W = 62
\]
\[
W = 12
\]

Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là 50m và 12m.