Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích các thông tin và điều kiện đã cho:

1. Cho góc nhọn \(\angle BAC\).
2. Trên tia \(AB\) lấy điểm \(D\), trên tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AD = AE\).
3. Đường trung trực của \(BD\) và đường trung trực của \(CE\) cắt nhau tại \(I\).

Chúng ta cần xác định xem các khẳng định sau có đúng hay không:
A. \(AI\) là tia phân giác của \(\angle BAC\).
B. \(AI\) là đường trung trực của \(DE\).

### Phân tích:

1. **Đường trung trực của \(BD\) và \(CE\):**
- Đường trung trực của đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.
- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BD\) và \(N\) là trung điểm của \(CE\).
- Đường trung trực của \(BD\) và \(CE\) sẽ đi qua \(M\) và \(N\) tương ứng.

2. **Điểm \(I\):**
- \(I\) là giao điểm của hai đường trung trực này.
- Do \(I\) nằm trên đường trung trực của \(BD\), nên \(I\) cách đều \(B\) và \(D\).
- Do \(I\) nằm trên đường trung trực của \(CE\), nên \(I\) cách đều \(C\) và \(E\).

3. **Tính chất của \(I\):**
- Vì \(AD = AE\), tam giác \(ADE\) là tam giác cân tại \(A\).
- \(I\) cách đều các điểm \(B\), \(D\), \(C\), và \(E\).
- Do đó, \(I\) nằm trên đường phân giác của \(\angle BAC\) (vì đường phân giác của góc chia góc thành hai phần bằng nhau và các điểm trên đường phân giác cách đều hai cạnh của góc).

4. **Xét \(AI\):**
- \(AI\) là đường phân giác của \(\angle BAC\) vì \(I\) cách đều các cạnh của góc \(\angle BAC\).
- \(AI\) cũng là đường trung trực của \(DE\) vì \(I\) cách đều \(D\) và \(E\) và \(AD = AE\).

### Kết luận:
Cả hai khẳng định A và B đều đúng.

Do đó, đáp án đúng là:
C. Cả A và B đều đúng.