Để chứng minh rằng đường thẳng AG chia đôi đoạn thẳng MN, ta sẽ sử dụng các tính chất của trung điểm và trọng tâm trong hình học phẳng.

1. **Xác định các điểm trung điểm và trọng tâm:**
- M là trung điểm của AB, do đó \( \overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2} \).
- N là trung điểm của CD, do đó \( \overrightarrow{N} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2} \).
- G là trọng tâm của tam giác BCD, do đó \( \overrightarrow{G} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{3} \).

2. **Tìm tọa độ trung điểm của MN:**
- Trung điểm của MN là điểm \( P \) có tọa độ \( \overrightarrow{P} = \frac{\overrightarrow{M} + \overrightarrow{N}}{2} \).
- Thay các giá trị của \( \overrightarrow{M} \) và \( \overrightarrow{N} \) vào, ta có:
\[
\overrightarrow{P} = \frac{\frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2} + \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2}}{2} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{4}
\]

3. **Xác định tọa độ điểm A:**
- Điểm A có tọa độ \( \overrightarrow{A} \).

4. **Xác định tọa độ điểm G:**
- Điểm G có tọa độ \( \overrightarrow{G} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{3} \).

5. **Xét đường thẳng AG:**
- Đường thẳng AG có phương trình tham số:
\[
\overrightarrow{AG} = t \overrightarrow{G} + (1-t) \overrightarrow{A}
\]
- Thay \( \overrightarrow{G} \) vào, ta có:
\[
\overrightarrow{AG} = t \left( \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{3} \right) + (1-t) \overrightarrow{A}
\]

6. **Kiểm tra điểm P có nằm trên đường thẳng AG hay không:**
- Điểm P nằm trên đường thẳng AG nếu tồn tại \( t \) sao cho:
\[
\overrightarrow{P} = t \overrightarrow{G} + (1-t) \overrightarrow{A}
\]
- Thay \( \overrightarrow{P} \) và \( \overrightarrow{G} \) vào, ta có:
\[
\frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{4} = t \left( \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{3} \right) + (1-t) \overrightarrow{A}
\]
- Giải phương trình này, ta tìm được \( t = \frac{3}{4} \).

7. **Kết luận:**
- Vì \( t = \frac{3}{4} \), điều này có nghĩa là điểm P chia đoạn AG theo tỉ lệ 3:1, tức là P là trung điểm của đoạn MN.
- Do đó, đường thẳng AG chia đôi đoạn thẳng MN.

Vậy ta đã chứng minh được rằng AG chia đôi MN.