Cho tam giác ABC có I là trung điểm AB và J là trung điểm AC. Gọi M là điểm tùy ý trên BC. Trên tia đối tia IM lấy điẻm N sao cho I là trung điểm MN, trên tia đối tia JM lấy điểm P sao cho J là trung điểm PJ. Chứng minh N, A, P thẳng hàng

Để chứng minh rằng các điểm \( N \), \( A \), và \( P \) thẳng hàng, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của trung điểm và các đoạn thẳng song song.

1. **Xác định các điểm và tính chất trung điểm:**
- \( I \) là trung điểm của \( AB \), do đó \( AI = IB \).
- \( J \) là trung điểm của \( AC \), do đó \( AJ = JC \).
- \( M \) là điểm tùy ý trên \( BC \).
- \( N \) là điểm trên tia đối của tia \( IM \) sao cho \( I \) là trung điểm của \( MN \), do đó \( IN = IM \).
- \( P \) là điểm trên tia đối của tia \( JM \) sao cho \( J \) là trung điểm của \( PJ \), do đó \( JP = JM \).

2. **Sử dụng tính chất trung điểm và đoạn thẳng song song:**
- Vì \( I \) là trung điểm của \( AB \) và \( J \) là trung điểm của \( AC \), nên \( IJ \) là đường trung bình của tam giác \( ABC \). Do đó, \( IJ \parallel BC \) và \( IJ = \frac{1}{2} BC \).
- Vì \( I \) là trung điểm của \( MN \), nên \( N \) nằm trên đường thẳng kéo dài của \( IM \) về phía đối diện của \( M \).
- Vì \( J \) là trung điểm của \( PJ \), nên \( P \) nằm trên đường thẳng kéo dài của \( JM \) về phía đối diện của \( M \).

3. **Chứng minh \( N \), \( A \), và \( P \) thẳng hàng:**
- Xét tam giác \( AIM \) và tam giác \( AJM \):
- \( AI = IB \) và \( AJ = JC \) do \( I \) và \( J \) là trung điểm.
- \( IM = IN \) và \( JM = JP \) do \( I \) và \( J \) là trung điểm của \( MN \) và \( PJ \) tương ứng.
- Do \( IJ \parallel BC \), ta có:
- \( \frac{AI}{IB} = \frac{AJ}{JC} = 1 \)
- \( \frac{IM}{IN} = \frac{JM}{JP} = 1 \)
- Vì \( I \) là trung điểm của \( AB \) và \( J \) là trung điểm của \( AC \), nên \( A \) là điểm chung của hai đường thẳng \( IN \) và \( JP \).

Do đó, \( N \), \( A \), và \( P \) thẳng hàng.