Cho (x; y) là 2 nghiệm của phương trình x^2 + 3y^2 + 2xy - 10x - 14y + 10 = 0

Để tìm các giá trị cực đại và cực tiểu của biểu thức \( Q = X + Y \) khi \((X, Y)\) là nghiệm của phương trình \( X^2 + 3Y^2 + 2XY - 10X - 14Y + 10 = 0 \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Viết lại phương trình dưới dạng chuẩn hóa:**

Phương trình ban đầu là:
\[
X^2 + 3Y^2 + 2XY - 10X - 14Y + 10 = 0
\]

Để dễ dàng hơn trong việc phân tích, ta sẽ nhóm các hạng tử liên quan đến \(X\) và \(Y\) lại với nhau:
\[
X^2 + 2XY + 3Y^2 - 10X - 14Y + 10 = 0
\]

2. **Sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương:**

Ta sẽ hoàn thành bình phương cho các hạng tử liên quan đến \(X\) và \(Y\):
\[
X^2 + 2XY + 3Y^2 - 10X - 14Y + 10 = 0
\]

Đầu tiên, ta nhóm các hạng tử liên quan đến \(X\) và \(Y\):
\[
(X^2 + 2XY + Y^2) + 2Y^2 - 10X - 14Y + 10 = 0
\]

Ta nhận thấy rằng \(X^2 + 2XY + Y^2 = (X + Y)^2\), do đó phương trình trở thành:
\[
(X + Y)^2 + 2Y^2 - 10X - 14Y + 10 = 0
\]

Tiếp theo, ta hoàn thành bình phương cho các hạng tử còn lại:
\[
(X + Y)^2 + 2Y^2 - 10X - 14Y + 10 = 0
\]

Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \(X\) và \(Y\):
\[
(X + Y)^2 + 2Y^2 - 10(X + Y) + 10 = 0
\]

Đặt \(Z = X + Y\), ta có phương trình:
\[
Z^2 + 2Y^2 - 10Z - 14Y + 10 = 0
\]

3. **Tìm giá trị cực đại và cực tiểu của \(Q = X + Y\):**

Để tìm giá trị cực đại và cực tiểu của \(Q = X + Y\), ta cần giải phương trình:
\[
Z^2 + 2Y^2 - 10Z - 14Y + 10 = 0
\]

Đây là một phương trình bậc hai đối với \(Z\). Ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị cực đại và cực tiểu của \(Z\).

Đạo hàm của phương trình theo \(Z\) là:
\[
2Z - 10 = 0
\]

Giải phương trình này, ta được:
\[
Z = 5
\]

Do đó, giá trị cực đại và cực tiểu của \(Q = X + Y\) là \(5\).

Vậy, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(Q = X + Y\) khi \((X, Y)\) là nghiệm của phương trình \(X^2 + 3Y^2 + 2XY - 10X - 14Y + 10 = 0\) đều là \(5\).