Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết.

### Phần a: Chứng minh \( AH \cdot CE = EH \cdot CH \)

1. **Tam giác ABC cân tại A**:
- Do tam giác ABC cân tại A, nên \( AB = AC \).
- Đường cao AH cũng là đường trung tuyến và đường phân giác của tam giác ABC.

2. **Đường cao AH**:
- AH vuông góc với BC tại H.

3. **Kẻ HE vuông góc với AC tại E**:
- HE vuông góc với AC tại E, do đó \( \angle HEA = 90^\circ \).

4. **Chứng minh \( AH \cdot CE = EH \cdot CH \)**:
- Xét tam giác vuông AHE và tam giác vuông CHE:
- Trong tam giác vuông AHE, ta có \( \angle HEA = 90^\circ \).
- Trong tam giác vuông CHE, ta có \( \angle HEC = 90^\circ \).

- Sử dụng định lý về đường cao trong tam giác vuông:
- Trong tam giác vuông AHE, đường cao AH chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ hơn, có các cạnh liên quan bởi công thức:
\[
AH^2 = AE \cdot HE
\]
- Trong tam giác vuông CHE, đường cao EH chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ hơn, có các cạnh liên quan bởi công thức:
\[
EH^2 = CE \cdot CH
\]

- Từ hai công thức trên, ta có:
\[
AH^2 = AE \cdot HE \quad \text{và} \quad EH^2 = CE \cdot CH
\]

- Do tam giác ABC cân tại A, nên AE = CE. Do đó, từ hai công thức trên, ta suy ra:
\[
AH \cdot CE = EH \cdot CH
\]

### Phần b: Chứng minh K là trung điểm của HE

1. **Kẻ AM vuông góc BE tại M**:
- AM vuông góc với BE tại M.

2. **AM cắt HE tại K**:
- AM cắt HE tại K.

3. **Chứng minh K là trung điểm của HE**:
- Xét tam giác vuông AHE:
- AM là đường trung tuyến của tam giác vuông AHE, do đó AM chia HE thành hai đoạn bằng nhau tại điểm K.
- Do đó, K là trung điểm của HE.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được rằng \( AH \cdot CE = EH \cdot CH \) và K là trung điểm của HE.