Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh \(a\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác. Một đường thẳng đi qua \(G\) và cắt \(AB\) tại \(M\) và \(AC\) tại \(N\). Chúng ta cần chứng minh rằng \(\frac{1}{AM} + \frac{1}{AN} = \frac{3}{a}\).

Trước hết, ta nhắc lại một số tính chất của tam giác đều và trọng tâm:
1. Trong tam giác đều \(ABC\), trọng tâm \(G\) cũng là trực tâm và là tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp.
2. Trọng tâm \(G\) chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần với tỉ lệ \(2:1\), với phần dài hơn nằm ở phía đỉnh.

Giả sử \(G\) là trọng tâm của tam giác đều \(ABC\). Khi đó, tọa độ của \(G\) trong hệ tọa độ với \(A(0,0)\), \(B(a,0)\), và \(C\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\) là:
\[ G\left(\frac{a}{3}, \frac{a\sqrt{3}}{3}\right) \]

Gọi đường thẳng đi qua \(G\) cắt \(AB\) tại \(M\) và \(AC\) tại \(N\). Ta cần chứng minh rằng:
\[ \frac{1}{AM} + \frac{1}{AN} = \frac{3}{a} \]

Do \(G\) là trọng tâm, nó chia các đường trung tuyến thành các đoạn có tỉ lệ \(2:1\). Đặt \(AM = x\) và \(AN = y\). Vì \(M\) và \(N\) nằm trên các cạnh của tam giác đều, ta có:
\[ AM + MB = AB = a \]
\[ AN + NC = AC = a \]

Do đó, \(MB = a - x\) và \(NC = a - y\).

Sử dụng tính chất của trọng tâm, ta có:
\[ \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} = \frac{2}{1} \]

Từ đó, ta suy ra:
\[ \frac{x}{a - x} = 2 \]
\[ \frac{y}{a - y} = 2 \]

Giải các phương trình trên:
\[ x = 2(a - x) \]
\[ x = \frac{2a}{3} \]

\[ y = 2(a - y) \]
\[ y = \frac{2a}{3} \]

Do đó:
\[ \frac{1}{AM} = \frac{1}{\frac{2a}{3}} = \frac{3}{2a} \]
\[ \frac{1}{AN} = \frac{1}{\frac{2a}{3}} = \frac{3}{2a} \]

Tổng của hai phân số này là:
\[ \frac{1}{AM} + \frac{1}{AN} = \frac{3}{2a} + \frac{3}{2a} = \frac{6}{2a} = \frac{3}{a} \]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\[ \frac{1}{AM} + \frac{1}{AN} = \frac{3}{a} \]