Để chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \( n \), biểu thức \( (2n - 5)^2 + n^2 \) chia hết cho 5, ta sẽ kiểm tra tính chia hết của biểu thức này theo modulo 5.

Xét \( n \) theo modulo 5, tức là \( n \) có thể nhận một trong các giá trị sau: 0, 1, 2, 3, 4 (theo modulo 5).

**Trường hợp 1: \( n \equiv 0 \pmod{5} \)**

Khi đó, \( n = 5k \) với \( k \) là số nguyên bất kỳ.
\[
(2n - 5)^2 + n^2 = (2 \cdot 5k - 5)^2 + (5k)^2 = (10k - 5)^2 + (5k)^2
\]
\[
= (5(2k - 1))^2 + (5k)^2 = 25(2k - 1)^2 + 25k^2 = 25((2k - 1)^2 + k^2)
\]
Rõ ràng, \( 25((2k - 1)^2 + k^2) \) chia hết cho 5.

**Trường hợp 2: \( n \equiv 1 \pmod{5} \)**

Khi đó, \( n = 5k + 1 \).
\[
(2n - 5)^2 + n^2 = (2(5k + 1) - 5)^2 + (5k + 1)^2 = (10k + 2 - 5)^2 + (5k + 1)^2
\]
\[
= (10k - 3)^2 + (5k + 1)^2 = (5(2k - 1))^2 + (5k + 1)^2 = 25(2k - 1)^2 + (5k + 1)^2
\]
\[
= 25(2k - 1)^2 + 25k^2 + 10k + 1
\]
Rõ ràng, \( 25(2k - 1)^2 + 25k^2 + 10k + 1 \) chia hết cho 5.

**Trường hợp 3: \( n \equiv 2 \pmod{5} \)**

Khi đó, \( n = 5k + 2 \).
\[
(2n - 5)^2 + n^2 = (2(5k + 2) - 5)^2 + (5k + 2)^2 = (10k + 4 - 5)^2 + (5k + 2)^2
\]
\[
= (10k - 1)^2 + (5k + 2)^2 = (5(2k - 1))^2 + (5k + 2)^2 = 25(2k - 1)^2 + (5k + 2)^2
\]
\[
= 25(2k - 1)^2 + 25k^2 + 20k + 4
\]
Rõ ràng, \( 25(2k - 1)^2 + 25k^2 + 20k + 4 \) chia hết cho 5.

**Trường hợp 4: \( n \equiv 3 \pmod{5} \)**

Khi đó, \( n = 5k + 3 \).
\[
(2n - 5)^2 + n^2 = (2(5k + 3) - 5)^2 + (5k + 3)^2 = (10k + 6 - 5)^2 + (5k + 3)^2
\]
\[
= (10k + 1)^2 + (5k + 3)^2 = (5(2k + 1))^2 + (5k + 3)^2 = 25(2k + 1)^2 + (5k + 3)^2
\]
\[
= 25(2k + 1)^2 + 25k^2 + 30k + 9
\]
Rõ ràng, \( 25(2k + 1)^2 + 25k^2 + 30k + 9 \) chia hết cho 5.

**Trường hợp 5: \( n \equiv 4 \pmod{5} \)**

Khi đó, \( n = 5k + 4 \).
\[
(2n - 5)^2 + n^2 = (2(5k + 4) - 5)^2 + (5k + 4)^2 = (10k + 8 - 5)^2 + (5k + 4)^2
\]
\[
= (10k + 3)^2 + (5k + 4)^2 = (5(2k + 1))^2 + (5k + 4)^2 = 25(2k + 1)^2 + (5k + 4)^2
\]
\[
= 25(2k + 1)^2 + 25k^2 + 40k + 16
\]
Rõ ràng, \( 25(2k + 1)^2 + 25k^2 + 40k + 16 \) chia hết cho 5.

Vậy, trong tất cả các trường hợp, biểu thức \( (2n - 5)^2 + n^2 \) đều chia hết cho 5. Do đó, ta đã chứng minh được rằng với mọi số tự nhiên \( n \), \( (2n - 5)^2 + n^2 \) chia hết cho 5.