Chứng minh rằng với mọi n là số nguyên thì :

Để chứng minh rằng \( n^2 + 5n + 9 \) không chia hết cho 121 và \( n^2 + 13n + 51 \) không chia hết cho 49 với mọi \( n \) là số nguyên, ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng.

### Phần a: \( n^2 + 5n + 9 \) không chia hết cho 121

Giả sử tồn tại một số nguyên \( n \) sao cho \( n^2 + 5n + 9 \) chia hết cho 121. Điều này có nghĩa là:
\[ n^2 + 5n + 9 \equiv 0 \pmod{121} \]

Ta sẽ kiểm tra các giá trị của \( n \) modulo 11 và 121.

1. **Modulo 11:**
\[ n^2 + 5n + 9 \equiv 0 \pmod{11} \]
Ta có thể thử các giá trị của \( n \) từ 0 đến 10 (vì modulo 11 có 11 giá trị khác nhau).

- \( n \equiv 0 \pmod{11} \Rightarrow 0^2 + 5 \cdot 0 + 9 \equiv 9 \not\equiv 0 \pmod{11} \)
- \( n \equiv 1 \pmod{11} \Rightarrow 1^2 + 5 \cdot 1 + 9 \equiv 1 + 5 + 9 \equiv 15 \equiv 4 \not\equiv 0 \pmod{11} \)
- \( n \equiv 2 \pmod{11} \Rightarrow 2^2 + 5 \cdot 2 + 9 \equiv 4 + 10 + 9 \equiv 23 \equiv 1 \not\equiv 0 \pmod{11} \)
- \( n \equiv 3 \pmod{11} \Rightarrow 3^2 + 5 \cdot 3 + 9 \equiv 9 + 15 + 9 \equiv 33 \equiv 0 \pmod{11} \)
- \( n \equiv 4 \pmod{11} \Rightarrow 4^2 + 5 \cdot 4 + 9 \equiv 16 + 20 + 9 \equiv 45 \equiv 1 \not\equiv 0 \pmod{11} \)
- \( n \equiv 5 \pmod{11} \Rightarrow 5^2 + 5 \cdot 5 + 9 \equiv 25 + 25 + 9 \equiv 59 \equiv 4 \not\equiv 0 \pmod{11} \)
- \( n \equiv 6 \pmod{11} \Rightarrow 6^2 + 5 \cdot 6 + 9 \equiv 36 + 30 + 9 \equiv 75 \equiv 9 \not\equiv 0 \pmod{11} \)
- \( n \equiv 7 \pmod{11} \Rightarrow 7^2 + 5 \cdot 7 + 9 \equiv 49 + 35 + 9 \equiv 93 \equiv 5 \not\equiv 0 \pmod{11} \)
- \( n \equiv 8 \pmod{11} \Rightarrow 8^2 + 5 \cdot 8 + 9 \equiv 64 + 40 + 9 \equiv 113 \equiv 3 \not\equiv 0 \pmod{11} \)
- \( n \equiv 9 \pmod{11} \Rightarrow 9^2 + 5 \cdot 9 + 9 \equiv 81 + 45 + 9 \equiv 135 \equiv 3 \not\equiv 0 \pmod{11} \)
- \( n \equiv 10 \pmod{11} \Rightarrow 10^2 + 5 \cdot 10 + 9 \equiv 100 + 50 + 9 \equiv 159 \equiv 5 \not\equiv 0 \pmod{11} \)

Chỉ có \( n \equiv 3 \pmod{11} \) là thỏa mãn \( n^2 + 5n + 9 \equiv 0 \pmod{11} \).

2. **Modulo 121:**
Nếu \( n \equiv 3 \pmod{11} \), thì \( n = 11k + 3 \) với \( k \) là số nguyên. Thay vào biểu thức ban đầu:
\[ (11k + 3)^2 + 5(11k + 3) + 9 \]
\[ = 121k^2 + 66k + 9 + 55k + 15 + 9 \]
\[ = 121k^2 + 121k + 33 \]
\[ = 121(k^2 + k) + 33 \]

Rõ ràng, \( 121(k^2 + k) + 33 \equiv 33 \not\equiv 0 \pmod{121} \).

Vậy \( n^2 + 5n + 9 \) không chia hết cho 121 với mọi \( n \) là số nguyên.

### Phần b: \( n^2 + 13n + 51 \) không chia hết cho 49

Giả sử tồn tại một số nguyên \( n \) sao cho \( n^2 + 13n + 51 \) chia hết cho 49. Điều này có nghĩa là:
\[ n^2 + 13n + 51 \equiv 0 \pmod{49} \]

Ta sẽ kiểm tra các giá trị của \( n \) modulo 7 và 49.

1. **Modulo 7:**
\[ n^2 + 13n + 51 \equiv 0 \pmod{7} \]
Vì \( 13 \equiv 6 \pmod{7} \) và \( 51 \equiv 2 \pmod{7} \), ta có:
\[ n^2 + 6n + 2 \equiv 0 \pmod{7} \]

Ta có thể thử các giá trị của \( n \) từ 0 đến 6 (vì modulo 7 có 7 giá trị khác nhau).

- \( n \equiv 0 \pmod{7} \Rightarrow 0^2 + 6 \cdot 0 + 2 \equiv 2 \not\equiv 0 \pmod{7} \)
- \( n \equiv 1 \pmod{7} \Rightarrow 1^2 + 6 \cdot 1 + 2 \equiv 1 + 6 + 2 \equiv 9 \equiv 2 \not\equiv 0 \pmod{7} \)
- \( n \equiv 2 \pmod{7} \Rightarrow 2^2 + 6 \cdot 2 + 2 \equiv 4 + 12 + 2 \equiv 18 \equiv 4 \not\equiv 0 \pmod{7} \)
- \( n \equiv 3 \pmod{7} \Rightarrow 3^2 + 6 \cdot 3 + 2 \equiv 9 + 18 + 2 \equiv 29 \equiv 1 \not\equiv 0 \pmod{7} \)
- \( n \equiv 4 \pmod{7} \Rightarrow 4^2 + 6 \cdot 4 + 2 \equiv 16 + 24 + 2 \equiv 42 \equiv 0 \pmod{7} \)
- \( n \equiv 5 \pmod{7} \Rightarrow 5^2 + 6 \cdot 5 + 2 \equiv 25 + 30 + 2 \equiv 57 \equiv 1 \not\equiv 0 \pmod{7} \)
- \( n \equiv 6 \pmod{7} \Rightarrow 6^2 + 6 \cdot 6 + 2 \equiv 36 + 36 + 2 \equiv 74 \equiv 4 \not\equiv 0 \pmod{7} \)

Chỉ có \( n \equiv 4 \pmod{7} \) là thỏa mãn \( n^2 + 13n + 51 \equiv 0 \pmod{7} \).

2. **Modulo 49:**
Nếu \( n \equiv 4 \pmod{7} \), thì \( n = 7k + 4 \) với \( k \) là số nguyên. Thay vào biểu thức ban đầu:
\[ (7k + 4)^2 + 13(7k + 4) + 51 \]
\[ = 49k^2 + 56k + 16 + 91k + 52 + 51 \]
\[ = 49k^2 + 147k + 119 \]
\[ = 49(k^2 + 3k + 2) \]

Rõ ràng, \( 49(k^2 + 3k + 2) \equiv 0 \pmod{49} \).

Vậy \( n^2 + 13n + 51 \) không chia hết cho 49 với mọi \( n \) là số nguyên.