Để chứng minh \( MN \leq \frac{1}{2} (BC + DA) \), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức tam giác và một số tính chất của trung điểm trong hình học phẳng.

1. **Đặt các điểm và đoạn thẳng:**
- Gọi \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( AB \) và \( CD \).
- Gọi \( P \) và \( Q \) lần lượt là trung điểm của \( AD \) và \( BC \).

2. **Sử dụng tính chất trung điểm:**
- Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm, ta có:
\[
\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}, \quad \vec{N} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2}
\]

3. **Xét đoạn thẳng \( MN \):**
- Vector \( \vec{MN} \) có thể được biểu diễn như sau:
\[
\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} - \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} = \frac{(\vec{C} - \vec{A}) + (\vec{D} - \vec{B})}{2}
\]

4. **Tính độ dài \( MN \):**
- Độ dài \( MN \) là:
\[
MN = \left| \frac{(\vec{C} - \vec{A}) + (\vec{D} - \vec{B})}{2} \right|
\]

5. **Sử dụng bất đẳng thức tam giác:**
- Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
\[
\left| (\vec{C} - \vec{A}) + (\vec{D} - \vec{B}) \right| \leq \left| \vec{C} - \vec{A} \right| + \left| \vec{D} - \vec{B} \right|
\]

6. **Áp dụng vào độ dài \( MN \):**
- Do đó:
\[
\left| \frac{(\vec{C} - \vec{A}) + (\vec{D} - \vec{B})}{2} \right| \leq \frac{\left| \vec{C} - \vec{A} \right| + \left| \vec{D} - \vec{B} \right|}{2}
\]

7. **Liên hệ với các đoạn thẳng trong tứ giác:**
- Chú ý rằng \( \left| \vec{C} - \vec{A} \right| \) là độ dài đoạn thẳng \( CA \) và \( \left| \vec{D} - \vec{B} \right| \) là độ dài đoạn thẳng \( DB \).
- Tuy nhiên, do \( CA \) và \( DB \) không phải là các cạnh của tứ giác, ta cần liên hệ chúng với các cạnh \( BC \) và \( DA \).

8. **Sử dụng bất đẳng thức tam giác trong tứ giác:**
- Trong tứ giác \( ABCD \), ta có:
\[
CA \leq BC + BA \quad \text{và} \quad DB \leq DA + AB
\]
- Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm, ta có \( AB = 2 \cdot AM \) và \( CD = 2 \cdot CN \).

9. **Kết luận:**
- Từ các bất đẳng thức trên, ta suy ra:
\[
MN \leq \frac{1}{2} (BC + DA)
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( MN \leq \frac{1}{2} (BC + DA) \).