Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông, trung điểm, hình chữ nhật, hình bình hành và hình thang cân.

### a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật

- Ta có \(MD \perp AB\) tại \(D\) và \(ME \perp AC\) tại \(E\).
- Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(M\) nằm trên đường trung bình của tam giác \(ABC\), do đó \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng nối từ \(B\) đến \(C\).
- Trong tam giác vuông \(ABC\), \(AB \perp AC\), do đó \(D\) và \(E\) là các điểm chân đường vuông góc từ \(M\) đến \(AB\) và \(AC\) tương ứng.

Vì \(MD \perp AB\) và \(ME \perp AC\), nên \(AD \parallel ME\) và \(DE \parallel AM\). Do đó, tứ giác \(ADME\) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên \(ADME\) là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh E là trung điểm của đoạn thẳng AC và tứ giác CMDE là hình bình hành

- Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), và \(MD \perp AB\), \(ME \perp AC\), nên \(D\) và \(E\) là các điểm chân đường vuông góc từ \(M\) đến \(AB\) và \(AC\) tương ứng.
- Do \(M\) là trung điểm của \(BC\), và \(D\) và \(E\) là các điểm chân đường vuông góc từ \(M\) đến \(AB\) và \(AC\), nên \(E\) là trung điểm của \(AC\).

Để chứng minh tứ giác \(CMDE\) là hình bình hành:
- Ta có \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(E\) là trung điểm của \(AC\).
- \(MD \parallel CE\) và \(DE \parallel MC\) (vì \(MD \perp AB\) và \(ME \perp AC\)).

Do đó, tứ giác \(CMDE\) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên \(CMDE\) là hình bình hành.

### c) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC. Chứng minh tứ giác MHDE là hình thang cân

- Vẽ đường cao \(AH\) của tam giác \(ABC\), \(H\) là chân đường vuông góc từ \(A\) đến \(BC\).
- Ta có \(MD \perp AB\) và \(ME \perp AC\), do đó \(DE \parallel AH\).

Để chứng minh tứ giác \(MHDE\) là hình thang cân:
- Ta có \(MH \parallel DE\) (vì \(DE \parallel AH\)).
- Ta cần chứng minh \(MH = DE\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(E\) là trung điểm của \(AC\), và \(D\) là chân đường vuông góc từ \(M\) đến \(AB\), nên \(MD = ME\).

Do đó, tứ giác \(MHDE\) có hai cạnh song song và hai cạnh bên bằng nhau, nên \(MHDE\) là hình thang cân.

### d) Chứng minh A và H đối xứng với nhau qua DE

- Ta đã biết \(DE \parallel AH\) và \(DE\) là trung điểm của \(AC\).
- Vì \(DE\) là trung điểm của \(AC\), nên \(DE\) chia đoạn thẳng \(AH\) thành hai đoạn bằng nhau.

Do đó, \(A\) và \(H\) đối xứng với nhau qua \(DE\).