Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = 2x^2 + 1 \), ta cần xem xét đặc điểm của hàm số này.

Hàm số \( f(x) = 2x^2 + 1 \) là một hàm bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \), trong đó \( a = 2 \), \( b = 0 \), và \( c = 1 \). Đối với hàm bậc hai \( ax^2 + bx + c \) với \( a > 0 \), đồ thị của nó là một parabol mở lên, và giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được tại đỉnh của parabol.

Đỉnh của parabol \( ax^2 + bx + c \) có tọa độ \( x = -\frac{b}{2a} \). Trong trường hợp này, \( b = 0 \) và \( a = 2 \), do đó:

\[ x = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0 \]

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) đạt được tại \( x = 0 \). Thay \( x = 0 \) vào hàm số \( f(x) \):

\[ f(0) = 2(0)^2 + 1 = 1 \]

Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( 2x^2 + 1 \) là \( 1 \).