Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của đường trung tuyến và các phép biến hình trong hình học.

**Phần a: Chứng minh GN = GB và GM = GA**

1. **Chứng minh GN = GB:**

- G là trọng tâm của tam giác ABC, do đó \( G \) chia các đường trung tuyến AD và BE theo tỉ lệ 2:1.
- Vì E là trung điểm của GN, nên \( GN = 2 \cdot GE \).
- Từ tính chất của trọng tâm, ta có \( GE = \frac{2}{3} BE \).
- Do đó, \( GN = 2 \cdot \frac{2}{3} BE = \frac{4}{3} BE \).

- G là trọng tâm của tam giác ABC, nên \( GB = \frac{2}{3} BE \).
- Do đó, \( GN = GB \).

2. **Chứng minh GM = GA:**

- Tương tự, D là trung điểm của GM, nên \( GM = 2 \cdot GD \).
- Từ tính chất của trọng tâm, ta có \( GD = \frac{2}{3} AD \).
- Do đó, \( GM = 2 \cdot \frac{2}{3} AD = \frac{4}{3} AD \).

- G là trọng tâm của tam giác ABC, nên \( GA = \frac{2}{3} AD \).
- Do đó, \( GM = GA \).

**Phần b: Chứng minh AN = MB và AN // MB**

1. **Chứng minh AN = MB:**

- Từ phần a, ta đã có \( GN = GB \) và \( GM = GA \).
- Xét tam giác GNM và tam giác GBA, ta có:
- \( GN = GB \)
- \( GM = GA \)
- Góc \( \angle NGD = \angle BGA \) (vì D và E là trung điểm của MG và NG, tương ứng).

- Do đó, tam giác GNM và tam giác GBA là đồng dạng theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (SAS).
- Vì tam giác GNM và tam giác GBA đồng dạng, nên \( AN = MB \).

2. **Chứng minh AN // MB:**

- Từ tính chất của tam giác đồng dạng, các cặp góc tương ứng bằng nhau.
- Do đó, \( \angle ANM = \angle BMA \).
- Vì \( \angle ANM \) và \( \angle BMA \) là các góc so le trong, nên \( AN // MB \).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.