Để giải biểu thức \( x \times \sqrt{-\frac{4}{x}} \) với \( x < 0 \), ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Xác định điều kiện của biểu thức dưới căn:**
Biểu thức dưới căn là \( -\frac{4}{x} \). Vì \( x < 0 \), nên \( -\frac{4}{x} \) sẽ luôn dương (vì chia số âm cho số âm sẽ ra số dương). Do đó, căn bậc hai của một số dương là hợp lệ.

2. **Đơn giản hóa biểu thức:**
Ta có:
\[
x \times \sqrt{-\frac{4}{x}}
\]

Ta có thể viết lại biểu thức dưới căn như sau:
\[
-\frac{4}{x} = \frac{4}{-x}
\]

Vì \( x < 0 \), nên \( -x > 0 \). Do đó, ta có:
\[
\sqrt{\frac{4}{-x}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{-x}} = \frac{2}{\sqrt{-x}}
\]

3. **Thay thế vào biểu thức ban đầu:**
\[
x \times \frac{2}{\sqrt{-x}}
\]

4. **Đơn giản hóa biểu thức:**
\[
x \times \frac{2}{\sqrt{-x}} = \frac{2x}{\sqrt{-x}}
\]

Ta có thể viết lại \( \sqrt{-x} \) như sau:
\[
\sqrt{-x} = \sqrt{-1 \cdot x} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{x} = i \cdot \sqrt{x}
\]

Vì \( x < 0 \), nên \( \sqrt{x} \) là một số ảo. Tuy nhiên, để đơn giản hóa biểu thức, ta có thể viết lại:
\[
\frac{2x}{i \cdot \sqrt{x}}
\]

5. **Đơn giản hóa tiếp:**
\[
\frac{2x}{i \cdot \sqrt{x}} = \frac{2x}{i \cdot \sqrt{x}} \cdot \frac{i}{i} = \frac{2x \cdot i}{-x} = \frac{2i \cdot x}{-x} = -2i
\]

Vậy, biểu thức \( x \times \sqrt{-\frac{4}{x}} \) với \( x < 0 \) được đơn giản hóa thành \( -2i \).