Để tìm số nguyên \( a \) thỏa mãn các điều kiện đã cho, chúng ta sẽ giải từng điều kiện một cách tuần tự.

### Điều kiện a)
\[ \frac{1}{3} < \frac{6}{a} < \frac{1}{2} \]

Đầu tiên, chúng ta sẽ giải bất phương trình này.

1. Giải bất phương trình \(\frac{1}{3} < \frac{6}{a}\):
\[ \frac{1}{3} < \frac{6}{a} \]
Nhân cả hai vế với \( a \) (giả sử \( a > 0 \)):
\[ a > 18 \]

2. Giải bất phương trình \(\frac{6}{a} < \frac{1}{2}\):
\[ \frac{6}{a} < \frac{1}{2} \]
Nhân cả hai vế với \( a \) (giả sử \( a > 0 \)):
\[ 12 < a \]

Kết hợp hai bất phương trình trên, ta có:
\[ 12 < a < 18 \]

### Điều kiện b)
\[ \frac{2}{3} < \frac{1}{2}a < \frac{3}{2} \]

Tiếp tục giải bất phương trình này.

1. Giải bất phương trình \(\frac{2}{3} < \frac{1}{2}a\):
\[ \frac{2}{3} < \frac{1}{2}a \]
Nhân cả hai vế với 2:
\[ \frac{4}{3} < a \]

2. Giải bất phương trình \(\frac{1}{2}a < \frac{3}{2}\):
\[ \frac{1}{2}a < \frac{3}{2} \]
Nhân cả hai vế với 2:
\[ a < 3 \]

Kết hợp hai bất phương trình trên, ta có:
\[ \frac{4}{3} < a < 3 \]

### Kết hợp cả hai điều kiện
Từ điều kiện a) và b), ta có:
\[ 12 < a < 18 \]
và
\[ \frac{4}{3} < a < 3 \]

Tuy nhiên, không có số nguyên nào thỏa mãn cả hai điều kiện này cùng lúc. Điều này có nghĩa là không tồn tại số nguyên \( a \) thỏa mãn cả hai điều kiện đã cho.

Vậy, không có số nguyên \( a \) nào thỏa mãn cả hai điều kiện a) và b).