Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các định lý và công thức liên quan đến tam giác vuông, đặc biệt là định lý Pythagore và các tính chất của hình chiếu của các cạnh góc vuông lên cạnh huyền.

### Phần a:
Giả sử tam giác vuông có các cạnh góc vuông là \(a\) và \(b\), và cạnh huyền là \(c\).

1. **Tỉ số các cạnh góc vuông là 5:6 và cạnh huyền là 122 cm.**
- Ta có: \(\frac{a}{b} = \frac{5}{6}\)
- Giả sử \(a = 5k\) và \(b = 6k\), với \(k\) là một hằng số.

2. **Sử dụng định lý Pythagore:**
\[
a^2 + b^2 = c^2
\]
Thay \(a = 5k\), \(b = 6k\) và \(c = 122\):
\[
(5k)^2 + (6k)^2 = 122^2
\]
\[
25k^2 + 36k^2 = 14884
\]
\[
61k^2 = 14884
\]
\[
k^2 = \frac{14884}{61}
\]
\[
k^2 = 244
\]
\[
k = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}
\]

3. **Tính độ dài các cạnh góc vuông:**
\[
a = 5k = 5 \times 2\sqrt{61} = 10\sqrt{61}
\]
\[
b = 6k = 6 \times 2\sqrt{61} = 12\sqrt{61}
\]

4. **Tính độ dài hình chiếu của mỗi cạnh góc vuông lên cạnh huyền:**
- Hình chiếu của \(a\) lên \(c\) là \(a \cos(\theta)\)
- Hình chiếu của \(b\) lên \(c\) là \(b \cos(\theta)\)

Trong tam giác vuông, \(\cos(\theta) = \frac{a}{c}\) và \(\cos(\theta) = \frac{b}{c}\).

\[
\cos(\theta) = \frac{a}{c} = \frac{10\sqrt{61}}{122} = \frac{10\sqrt{61}}{2 \times 61} = \frac{5}{\sqrt{61}}
\]

Hình chiếu của \(a\) lên \(c\):
\[
a \cos(\theta) = 10\sqrt{61} \times \frac{5}{\sqrt{61}} = 50
\]

Hình chiếu của \(b\) lên \(c\):
\[
b \cos(\theta) = 12\sqrt{61} \times \frac{5}{\sqrt{61}} = 60
\]

### Phần b:
Giả sử tam giác vuông có các cạnh góc vuông là \(a\) và \(b\), và cạnh huyền là \(c\).

1. **Tỉ số các cạnh góc vuông là 3:7 và đường cao ứng với cạnh huyền là 12 cm.**
- Ta có: \(\frac{a}{b} = \frac{3}{7}\)
- Giả sử \(a = 3k\) và \(b = 7k\), với \(k\) là một hằng số.

2. **Sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông:**
\[
\text{Diện tích} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch
\]
Thay \(h = 12\):
\[
\frac{1}{2}(3k)(7k) = \frac{1}{2}c \times 12
\]
\[
21k^2 = 6c
\]
\[
c = \frac{21k^2}{6} = \frac{7k^2}{2}
\]

3. **Sử dụng định lý Pythagore:**
\[
a^2 + b^2 = c^2
\]
Thay \(a = 3k\), \(b = 7k\):
\[
(3k)^2 + (7k)^2 = c^2
\]
\[
9k^2 + 49k^2 = c^2
\]
\[
58k^2 = c^2
\]
\[
c = \sqrt{58k^2} = k\sqrt{58}
\]

4. **Tính độ dài hình chiếu của mỗi cạnh góc vuông lên cạnh huyền:**
- Hình chiếu của \(a\) lên \(c\) là \(a \cos(\theta)\)
- Hình chiếu của \(b\) lên \(c\) là \(b \cos(\theta)\)

Trong tam giác vuông, \(\cos(\theta) = \frac{a}{c}\) và \(\cos(\theta) = \frac{b}{c}\).

\[
\cos(\theta) = \frac{a}{c} = \frac{3k}{k\sqrt{58}} = \frac{3}{\sqrt{58}}
\]

Hình chiếu của \(a\) lên \(c\):
\[
a \cos(\theta) = 3k \times \frac{3}{\sqrt{58}} = \frac{9k}{\sqrt{58}}
\]

Hình chiếu của \(b\) lên \(c\):
\[
b \cos(\theta) = 7k \times \frac{3}{\sqrt{58}} = \frac{21k}{\sqrt{58}}
\]

Để tính giá trị cụ thể, cần biết \(k\). Tuy nhiên, từ các công thức trên, ta có thể thấy rằng hình chiếu của \(a\) và \(b\) lên cạnh huyền có dạng \(\frac{9k}{\sqrt{58}}\) và \(\frac{21k}{\sqrt{58}}\) tương ứng.