Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) với trung tuyến \(AH\), \(BM\), \(CN\). Giả sử \(CM = MB = NC\), \(AO\) vuông góc với \(BC\), và \(MN\) song song với \(BC\). Ta sẽ chứng minh các tính chất liên quan.

1. **Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\):**
- Điều này có nghĩa là \(AB = AC\).

2. **Trung tuyến \(AH\):**
- \(H\) là trung điểm của \(BC\), tức là \(BH = HC\).

3. **Trung tuyến \(BM\) và \(CN\):**
- \(M\) là trung điểm của \(AC\), tức là \(AM = MC\).
- \(N\) là trung điểm của \(AB\), tức là \(AN = NB\).

4. **\(CM = MB = NC\):**
- Điều này có nghĩa là \(M\) và \(N\) chia đoạn \(BC\) thành ba phần bằng nhau.

5. **\(AO\) vuông góc với \(BC\):**
- \(AO\) là đường cao từ \(A\) xuống \(BC\), và \(O\) là chân đường cao.

6. **\(MN\) song song với \(BC\):**
- Điều này có nghĩa là \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

### Chứng minh \(MN\) song song với \(BC\):

Vì \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\), nên \(MN\) song song với \(BC\) và \(MN = \frac{1}{2} BC\).

### Chứng minh \(M\) và \(N\) chia đoạn \(BC\) thành ba phần bằng nhau:

Do \(M\) và \(N\) là trung điểm của các cạnh \(AC\) và \(AB\) tương ứng, và \(CM = MB = NC\), ta có:

- \(CM = MB = \frac{BC}{3}\)
- \(NC = \frac{BC}{3}\)

Vì \(M\) và \(N\) chia đoạn \(BC\) thành ba phần bằng nhau, ta có:

- \(BM = \frac{BC}{3}\)
- \(CN = \frac{BC}{3}\)

### Kết luận:

- Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).
- \(AH\), \(BM\), \(CN\) là các trung tuyến.
- \(AO\) vuông góc với \(BC\).
- \(MN\) song song với \(BC\) và là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

Các tính chất này giúp xác định các mối quan hệ hình học trong tam giác cân \(ABC\).