Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( |x - 1| + |x - 2| + |x - (-1)| \), ta cần xem xét các khoảng giá trị của \( x \).

Biểu thức này là tổng của các giá trị tuyệt đối, và giá trị nhỏ nhất của tổng các giá trị tuyệt đối thường đạt được khi \( x \) nằm giữa các điểm mà các giá trị tuyệt đối được tính toán.

Các điểm quan trọng ở đây là \( x = 1 \), \( x = 2 \), và \( x = -1 \).

Xét các khoảng giá trị của \( x \):

1. **Khi \( x \leq -1 \)**:
\[
|x - 1| + |x - 2| + |x + 1| = (1 - x) + (2 - x) + (-1 - x) = 4 - 3x
\]

2. **Khi \( -1 < x \leq 1 \)**:
\[
|x - 1| + |x - 2| + |x + 1| = (1 - x) + (2 - x) + (x + 1) = 4 - x
\]

3. **Khi \( 1 < x \leq 2 \)**:
\[
|x - 1| + |x - 2| + |x + 1| = (x - 1) + (2 - x) + (x + 1) = 2 + x
\]

4. **Khi \( x > 2 \)**:
\[
|x - 1| + |x - 2| + |x + 1| = (x - 1) + (x - 2) + (x + 1) = 3x - 2
\]

Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất trong các khoảng này:

- Với \( x \leq -1 \): \( 4 - 3x \) là một hàm giảm, giá trị nhỏ nhất khi \( x = -1 \):
\[
4 - 3(-1) = 4 + 3 = 7
\]

- Với \( -1 < x \leq 1 \): \( 4 - x \) là một hàm giảm, giá trị nhỏ nhất khi \( x = 1 \):
\[
4 - 1 = 3
\]

- Với \( 1 < x \leq 2 \): \( 2 + x \) là một hàm tăng, giá trị nhỏ nhất khi \( x = 1 \):
\[
2 + 1 = 3
\]

- Với \( x > 2 \): \( 3x - 2 \) là một hàm tăng, giá trị nhỏ nhất khi \( x = 2 \):
\[
3(2) - 2 = 6 - 2 = 4
\]

Như vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( |x - 1| + |x - 2| + |x + 1| \) là \( 3 \), đạt được khi \( x \) nằm trong khoảng \( -1 < x \leq 1 \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( \boxed{3} \).