Chúng ta có hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
(m-1)x + y = 2 \\
mx + y = m + 1
\end{cases}
\]

a) Giải hệ phương trình với \( m = 1 \):

Thay \( m = 1 \) vào hệ phương trình, ta có:

\[
\begin{cases}
(1-1)x + y = 2 \\
1x + y = 2
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
0 \cdot x + y = 2 \\
x + y = 2
\end{cases}
\]

Phương trình đầu tiên trở thành \( y = 2 \). Thay \( y = 2 \) vào phương trình thứ hai:

\[
x + 2 = 2 \implies x = 0
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình khi \( m = 1 \) là \( (x, y) = (0, 2) \).

b) Tìm \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn \( 5 = 2x + y \):

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần điều kiện hệ số của \( x \) và \( y \) không tỉ lệ với nhau, tức là:

\[
\frac{m-1}{m} \neq \frac{1}{1}
\]

Điều này tương đương với:

\[
m-1 \neq m \implies -1 \neq 0
\]

Điều kiện này luôn đúng với mọi \( m \). Do đó, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi \( m \).

Bây giờ, ta cần tìm \( m \) để nghiệm duy nhất thỏa mãn \( 5 = 2x + y \).

Giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
(m-1)x + y = 2 \\
mx + y = m + 1
\end{cases}
\]

Trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai:

\[
mx + y - ((m-1)x + y) = (m+1) - 2
\]

\[
mx + y - mx - y + x = m + 1 - 2
\]

\[
x = m - 1
\]

Thay \( x = m - 1 \) vào phương trình thứ nhất:

\[
(m-1)(m-1) + y = 2
\]

\[
(m-1)^2 + y = 2
\]

\[
(m^2 - 2m + 1) + y = 2
\]

\[
y = 2 - m^2 + 2m - 1
\]

\[
y = -m^2 + 2m + 1
\]

Ta có \( x = m - 1 \) và \( y = -m^2 + 2m + 1 \). Thay vào điều kiện \( 5 = 2x + y \):

\[
5 = 2(m - 1) + (-m^2 + 2m + 1)
\]

\[
5 = 2m - 2 - m^2 + 2m + 1
\]

\[
5 = -m^2 + 4m - 1
\]

\[
m^2 - 4m + 6 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai:

\[
\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8
\]

Vì \(\Delta < 0\), phương trình vô nghiệm. Do đó, không tồn tại giá trị \( m \) nào để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn \( 5 = 2x + y \).