Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn

Ta cần chứng minh rằng tứ giác MNPQ là tứ giác nội tiếp, tức là 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.

Trong hình chữ nhật, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo MP và QN. Ta có:
- MI = IP
- QI = IN

Do đó, I là trung điểm của cả MP và QN.

Trong hình chữ nhật, các góc tại các đỉnh đều là góc vuông (90 độ). Ta có:
- Góc \( \angle MNP \) = 90 độ
- Góc \( \angle NPQ \) = 90 độ
- Góc \( \angle PQM \) = 90 độ
- Góc \( \angle QMN \) = 90 độ

Một tứ giác có tổng các góc đối diện bằng 180 độ thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp. Ta có:
- \( \angle MNP + \angle MQP = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
- \( \angle NPQ + \angle NMQ = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Vậy tứ giác MNPQ là tứ giác nội tiếp. Do đó, 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.

### b. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQ

Ta biết rằng trong hình chữ nhật, đường tròn ngoại tiếp có đường kính là đường chéo của hình chữ nhật.

Để tính bán kính, ta cần tính độ dài đường chéo của hình chữ nhật MNPQ. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông MNQ, ta có:
\[ MQ^2 = MN^2 + NQ^2 \]

Vì MQ là đường chéo của hình chữ nhật, ta có:
\[ MQ = \sqrt{MN^2 + NQ^2} \]

Thay các giá trị đã cho:
\[ MQ = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \]

Đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQ là 5 cm. Do đó, bán kính của đường tròn là:
\[ R = \frac{MQ}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ cm} \]

Vậy bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQ là 2.5 cm.