Tìm x nguyên để số hữu tỉ sau có giá trị là số nguyên: B = 10x + 7/5x - 1 (x khác 1/5)

Để tìm giá trị nguyên của \( x \) sao cho biểu thức \( B = \frac{10x + 7}{5x - 1} \) là một số nguyên, ta đặt \( B = k \) với \( k \) là một số nguyên. Khi đó, ta có phương trình:

\[
\frac{10x + 7}{5x - 1} = k
\]

Nhân cả hai vế với \( 5x - 1 \) để loại bỏ mẫu số, ta được:

\[
10x + 7 = k(5x - 1)
\]

Giải phương trình này:

\[
10x + 7 = 5kx - k
\]

Chuyển hết các hạng tử chứa \( x \) về một vế và các hạng tử không chứa \( x \) về vế còn lại:

\[
10x - 5kx = -k - 7
\]

Rút gọn:

\[
x(10 - 5k) = -k - 7
\]

Do đó:

\[
x = \frac{-k - 7}{10 - 5k}
\]

Để \( x \) là một số nguyên, thì \(\frac{-k - 7}{10 - 5k}\) phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( -k - 7 \) phải chia hết cho \( 10 - 5k \).

Ta xét các giá trị của \( k \) sao cho \( 10 - 5k \) là ước của \( -k - 7 \).

Xét một số giá trị của \( k \):

1. \( k = 0 \):
\[
x = \frac{-0 - 7}{10 - 5 \cdot 0} = \frac{-7}{10} \quad \text{(không phải số nguyên)}
\]

2. \( k = 1 \):
\[
x = \frac{-1 - 7}{10 - 5 \cdot 1} = \frac{-8}{5} \quad \text{(không phải số nguyên)}
\]

3. \( k = 2 \):
\[
x = \frac{-2 - 7}{10 - 5 \cdot 2} = \frac{-9}{0} \quad \text{(không xác định)}
\]

4. \( k = -1 \):
\[
x = \frac{-(-1) - 7}{10 - 5 \cdot (-1)} = \frac{1 - 7}{10 + 5} = \frac{-6}{15} \quad \text{(không phải số nguyên)}
\]

5. \( k = -2 \):
\[
x = \frac{-(-2) - 7}{10 - 5 \cdot (-2)} = \frac{2 - 7}{10 + 10} = \frac{-5}{20} \quad \text{(không phải số nguyên)}
\]

6. \( k = 3 \):
\[
x = \frac{-3 - 7}{10 - 5 \cdot 3} = \frac{-10}{10 - 15} = \frac{-10}{-5} = 2 \quad \text{(là số nguyên)}
\]

Vậy \( x = 2 \) là giá trị nguyên duy nhất thỏa mãn điều kiện để \( B \) là một số nguyên.

Kiểm tra lại:

\[
B = \frac{10 \cdot 2 + 7}{5 \cdot 2 - 1} = \frac{20 + 7}{10 - 1} = \frac{27}{9} = 3 \quad \text{(là số nguyên)}
\]

Vậy giá trị nguyên của \( x \) để \( B \) là số nguyên là \( x = 2 \).