Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( D = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) \), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm các điểm cực trị của hàm số.

Trước hết, ta đặt \( f(x) = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) \).

Để tìm các điểm cực trị, ta cần tính đạo hàm của \( f(x) \) và giải phương trình \( f'(x) = 0 \).

Ta có:
\[ f(x) = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) \]

Đạo hàm của \( f(x) \) là:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}[(x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)] \]

Sử dụng quy tắc đạo hàm tích, ta có:
\[ f'(x) = (x - 1)'(x + 2)(x + 3)(x + 6) + (x - 1)(x + 2)'(x + 3)(x + 6) + (x - 1)(x + 2)(x + 3)'(x + 6) + (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)' \]

\[ f'(x) = 1 \cdot (x + 2)(x + 3)(x + 6) + (x - 1) \cdot 1 \cdot (x + 3)(x + 6) + (x - 1)(x + 2) \cdot 1 \cdot (x + 6) + (x - 1)(x + 2)(x + 3) \cdot 1 \]

\[ f'(x) = (x + 2)(x + 3)(x + 6) + (x - 1)(x + 3)(x + 6) + (x - 1)(x + 2)(x + 6) + (x - 1)(x + 2)(x + 3) \]

\[ f'(x) = (x + 2)(x + 3)(x + 6) + (x - 1)(x + 3)(x + 6) + (x - 1)(x + 2)(x + 6) + (x - 1)(x + 2)(x + 3) \]

Để giải phương trình \( f'(x) = 0 \), ta cần tìm nghiệm của phương trình này. Tuy nhiên, việc giải phương trình này bằng tay có thể rất phức tạp. Thay vào đó, ta có thể sử dụng công cụ tính toán hoặc phần mềm để tìm nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \).

Sau khi tìm được các nghiệm của \( f'(x) = 0 \), ta sẽ kiểm tra giá trị của \( f(x) \) tại các điểm này và so sánh để tìm giá trị nhỏ nhất.

Tuy nhiên, ta có thể kiểm tra một số giá trị đặc biệt của \( x \) để tìm giá trị nhỏ nhất của \( D \).

Ví dụ:
- Khi \( x = 0 \):
\[ D = (0 - 1)(0 + 2)(0 + 3)(0 + 6) = (-1)(2)(3)(6) = -36 \]

- Khi \( x = -1 \):
\[ D = (-1 - 1)(-1 + 2)(-1 + 3)(-1 + 6) = (-2)(1)(2)(5) = -20 \]

- Khi \( x = -2 \):
\[ D = (-2 - 1)(-2 + 2)(-2 + 3)(-2 + 6) = (-3)(0)(1)(4) = 0 \]

- Khi \( x = -3 \):
\[ D = (-3 - 1)(-3 + 2)(-3 + 3)(-3 + 6) = (-4)(-1)(0)(3) = 0 \]

- Khi \( x = -4 \):
\[ D = (-4 - 1)(-4 + 2)(-4 + 3)(-4 + 6) = (-5)(-2)(-1)(2) = -20 \]

- Khi \( x = -5 \):
\[ D = (-5 - 1)(-5 + 2)(-5 + 3)(-5 + 6) = (-6)(-3)(-2)(1) = -36 \]

Từ các giá trị trên, ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của \( D \) có thể là \( -36 \).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( D = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) \) là \( -36 \).