Để giải bài toán này, ta cần thiết lập các phương trình dựa trên các thông tin đã cho và giải hệ phương trình đó.

Gọi \( x \) là số sản phẩm tổ 1 sản xuất được trong tháng thứ nhất, và \( y \) là số sản phẩm tổ 2 sản xuất được trong tháng thứ nhất.

Theo đề bài, ta có hai phương trình:

1. Tổng số sản phẩm của hai tổ trong tháng thứ nhất là 800:
\[ x + y = 800 \]

2. Sang tháng thứ hai, tổ 1 vượt 15% và tổ 2 vượt 20%, tổng số sản phẩm của hai tổ là 945:
\[ x + 0.15x + y + 0.20y = 945 \]
\[ 1.15x + 1.20y = 945 \]

Bây giờ ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
x + y = 800 \\
1.15x + 1.20y = 945
\end{cases} \]

Giải phương trình thứ nhất để tìm \( y \) theo \( x \):
\[ y = 800 - x \]

Thay \( y \) vào phương trình thứ hai:
\[ 1.15x + 1.20(800 - x) = 945 \]
\[ 1.15x + 960 - 1.20x = 945 \]
\[ -0.05x + 960 = 945 \]
\[ -0.05x = 945 - 960 \]
\[ -0.05x = -15 \]
\[ x = \frac{-15}{-0.05} \]
\[ x = 300 \]

Thay \( x = 300 \) vào phương trình \( y = 800 - x \):
\[ y = 800 - 300 \]
\[ y = 500 \]

Vậy, trong tháng thứ nhất:
- Tổ 1 sản xuất được 300 sản phẩm.
- Tổ 2 sản xuất được 500 sản phẩm.