Để giải bài toán này, ta cần xác định thời gian mỗi người thợ làm một mình để hoàn thành công việc. Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là \( x \) ngày và thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là \( y \) ngày.

1. **Lập phương trình từ thông tin cả hai người cùng làm:**

Khi cả hai người cùng làm, họ hoàn thành công việc trong 2 ngày. Do đó, trong 1 ngày, cả hai người hoàn thành được \(\frac{1}{2}\) công việc. Ta có phương trình:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}
\]

2. **Lập phương trình từ thông tin người thứ nhất làm 4 ngày và người thứ hai làm 1 ngày:**

- Người thứ nhất làm trong 4 ngày nên hoàn thành được \(\frac{4}{x}\) công việc.
- Người thứ hai làm trong 1 ngày nên hoàn thành được \(\frac{1}{y}\) công việc.

Tổng cộng, họ hoàn thành toàn bộ công việc, do đó ta có phương trình:
\[
\frac{4}{x} + \frac{1}{y} = 1
\]

3. **Giải hệ phương trình:**

Từ phương trình thứ nhất:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}
\]

Từ phương trình thứ hai:
\[
\frac{4}{x} + \frac{1}{y} = 1
\]

Đặt \( \frac{1}{x} = a \) và \( \frac{1}{y} = b \), ta có hệ phương trình:
\[
a + b = \frac{1}{2}
\]
\[
4a + b = 1
\]

Trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai:
\[
(4a + b) - (a + b) = 1 - \frac{1}{2}
\]
\[
3a = \frac{1}{2}
\]
\[
a = \frac{1}{6}
\]

Thay \( a = \frac{1}{6} \) vào phương trình \( a + b = \frac{1}{2} \):
\[
\frac{1}{6} + b = \frac{1}{2}
\]
\[
b = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]

Vậy \( a = \frac{1}{6} \) và \( b = \frac{1}{3} \).

Do đó:
\[
\frac{1}{x} = \frac{1}{6} \Rightarrow x = 6
\]
\[
\frac{1}{y} = \frac{1}{3} \Rightarrow y = 3
\]

Vậy, người thứ nhất làm một mình sẽ hoàn thành công việc trong 6 ngày và người thứ hai làm một mình sẽ hoàn thành công việc trong 3 ngày.