Để chứng minh \( A = a^2 + (a+1)^2 + (a+2)^2 + (a+3)^2 \) không phải là số chính phương, ta sẽ bắt đầu bằng cách khai triển và đơn giản hóa biểu thức này.

Khai triển các bình phương:
\[
a^2 + (a+1)^2 + (a+2)^2 + (a+3)^2 = a^2 + (a^2 + 2a + 1) + (a^2 + 4a + 4) + (a^2 + 6a + 9)
\]

Cộng các biểu thức lại:
\[
a^2 + a^2 + 2a + 1 + a^2 + 4a + 4 + a^2 + 6a + 9 = 4a^2 + 12a + 14
\]

Vậy ta có:
\[
A = 4a^2 + 12a + 14
\]

Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng \( A \) không thể là số chính phương. Giả sử \( A \) là số chính phương, tức là tồn tại một số nguyên \( k \) sao cho:
\[
4a^2 + 12a + 14 = k^2
\]

Xét biểu thức \( 4a^2 + 12a + 14 \) theo modulo 4:
\[
4a^2 + 12a + 14 \equiv 0 + 0 + 2 \equiv 2 \pmod{4}
\]

Vì \( k^2 \) là số chính phương, nên \( k^2 \equiv 0, 1, 2, 3 \pmod{4} \). Tuy nhiên, từ các tính chất của số chính phương, ta biết rằng:
\[
k^2 \equiv 0 \pmod{4} \quad \text{hoặc} \quad k^2 \equiv 1 \pmod{4}
\]

Do đó, \( k^2 \) không thể đồng dư với 2 modulo 4. Điều này mâu thuẫn với kết quả \( 4a^2 + 12a + 14 \equiv 2 \pmod{4} \).

Vì vậy, \( 4a^2 + 12a + 14 \) không thể là số chính phương. Do đó, \( A \) không thể là số chính phương.

Kết luận: \( A = a^2 + (a+1)^2 + (a+2)^2 + (a+3)^2 \) không phải là số chính phương.